曹则贤聊什么是量子力学（4）

从氢原子发光的问题可以推导出，光就是电子从能量高的状态跳到能量低的状态下发出来的。对于光的谱线的强度、宽窄等一系列问题的回答,至少是初期量子力学发展的脉络。

我认为也许把1877年当作量子力学的元年，可能是比较有道理的。因为1877年，奥地利维也纳大学的教授玻尔兹曼，就是统计力学的创始人。他假设气体所具有的动能有最基本单元，而它能够拥有的能量一定是这个基本单元的整数倍，一倍、两倍、三倍。那么在这个出发点下，很轻松地就得到了气体的具有某些能量的分子数随着这个动能分布的关系式。但是在接下来的推导中，玻尔兹曼反过手来又把刚才这个能量是分立的假设，又给变成了连续的了。非常遗憾的是，他把自己这个革命性的思想随手又给掐死了。

到了1900年，德国柏林大学的教授普朗克，他在自己构造的一个熵和内能的关系出发，就得到了什么呢？就得到了黑体辐射公式。黑体辐射是什么意思呢？就是一个封闭壁炉或者一个炼钢厂的炉子，当它热平衡的时候，那里面是有各种频率的光，它的能量密度不一样，那个能量密度和它的频率依赖关系是什么？普朗克教授就是从自己假设，用他自己的话说叫erraten, 就完全是瞎猜。这样的一个熵和内能的公式，就得出了一个表达式，这个表达式就能把这条实验曲线拟合得很好。得出这样一个关系式以后，他希望利用玻尔兹曼那套办法，也能得到这个结果。他就假设这个光的能量和它的频率成正比。那么某个频率的总能量除以这个频率，再除以一个常数h呢，就相当于说具有了这个光的单元数。然后就把这样的一个平衡的分布问题，就转化成了N个球放到P个盒子里面这样一个经典概率的问题，竟然也得到了黑体辐射公式。这相当于他从两个完全不同的出发点，用完全不同的假设，顺着两条不同的路，得到了同样的结果。这样的话就很令人惊奇，让他不得不对他的假设要当真了。接下来他花了四年多的时间就想把他的这个想法给掐死，结果一直没做到。但是，在1905年，一个叫阿尔伯特・爱因斯坦的年轻人，他接受了这个思想，并且把这个思想又往前推了一步。他假设光不仅是有能量单元hν的，而且他假设固体吸收这个光，也是用这个单位一份份吸收的，从而很简单地解释了光电效应。

那么到了1905年以后，这时候关于光到底是什么又出了另外一件事情。就是氢的光谱这样一件事情。我们大家知道，获得纯净气体的一个做法就是把混合的气体，在某个条件下让它变成液体。在一个特定条件下，只有一种气体会变成液体，所以那个液体就是干净的。你把这个液体再给它挪到另外一个地方，让它变成气体，这个气体就是纯净的。利用这种方法呢，人们在19世纪末的时候，终于获得了干净的氢气。把干净的氢气分装到玻璃管，两边加上电极，然后你就能得到氢的发光。结果氢的发光在我们可见光范围内就四根线。这四根线的波长分别是6562A、4860A、4340A和4101A。这个氢的发光就这四根线，现在变成四个数，就是6562、4860、4340、4101。科学家就觉得很奇怪，它为什么是这四个数。许多人就盯着这四个数看，就想看透这里面奥妙是什么。结果是瑞士巴塞尔小城有个中学老师叫巴尔末，这位老先生看出来了奥秘。他发现刚才这四个数，是3645这个数的9/5倍、4/3倍、25/21倍和9/8倍。好，现在就变成了我们看这四个数，9/5、4/3、25/21、9/8是什么意思。你如果这么看呢，发现它们也没有啥规律。可是你把它改造一下，你把9/5写成9/5，把4/3写成16/12，25/21还是25/21，9/8把它写成36/32，这没问题吧。写成这四个数的时候，突然你会发现，这四个数是有规律的了。因为分子上面，四个分子是3的平方、4的平方、5的平方、6的平方。而这四个数的分母是3的平方减2的平方、4的平方减2的平方、5的平方减2的平方和6的平方减2的平方。也就是说原来我们看氢气的四根分裂的、谁也不搭的孤零零的四根线，现在用一个公式能表达出来了。就是说它们的波长正比于n的平方除以n的平方减2的平方，这个地方n等于3、4、5、6。你从这个公式能看到什么？这个公式里面n等于3、4、5、6，那么很自然你会想，n难道不能等于7吗？你把n等于7代进去，能算出一个数。再回去看那光谱，发现果然有第五根线。这就很神奇。这个气体发光的几条线竟然是有规律的。

好，面对现在这个规律，n的平方除以n的平方减2的平方，你又能看出什么奥秘？科学家看了几年也没看明白。这时候出来一个叫Ritz的这样一个聪明人。他说你别盯着这个公式看，你把它分子分母倒过来看。那么n的平方除以n的平方减2的平方，你把它倒过来时候就可以化成2的平方分之一减去n的平方分之一，n等于3,4,5,6,7,8,9，直至无限。这时候就有人说，为什么开头那个地方是2的平方分之一，为什么不是1的平方分之一减去n平方分之一呢？或者为什么不是3的平方分之一减的n平方分之一呢？你把这个公式就给它简单写成n的平方分之一减去m平方分之一，n从1，2，3，4开始，m从n+1，n+2开始。你去算，可以算出一堆数，回头再去检查氢的光谱，发现果然，那些个位置都有谱线。

现在，人们突然发现从实验得出的一个简单总结公式，把这个公式扩展了以后，反过来我能找到实验里面你眼睛看不见的东西。这一个工作的例子，特别强烈地支持了早先古罗马哲学家西塞罗的一句很有名的话：“用眼睛看的人是瞎子”。因为我们用眼睛能看的范围太窄了。这个时候人家就用思想能看出氢原子的光谱，有无穷多条线，而这些线就用这个简单的公式n的平方分之一减去m平方之一就能表达出来。所以大家觉得，这个公式肯定是关于大自然的奥秘。现在问题就来了，谁能看清楚这个公式的奥秘。n平方分之一减m平方分之一，你说它什么意思？这个公式谁会看？这个事情就到了1909年~1911年前后的时候，这时候有一个小年轻，丹麦人尼尔斯・玻尔，他在英国留学。这位小年轻看这个公式看明白了。它有三大特征，第一个特征，它是有两项；第二个特征，它中间是减号。请大家一定记住，我们算算术的时候，加减乘除就是个符号，可是对于物理学家来说，加法和加法不同，减法和减法不同，它要对应具体的物理过程，所以这个地方的减号，它的物理过程是什么？第三条是每一项是n 平方分之一。

怎么理解这个公式？因为这是氢的发光光谱。氢的结构就是中间一个质子，外面就一个电子，它发光。它原来里面没有光的，如果发光，那就是里面电子和质子的事情。第二点，你看这公式是两项。有两项就说明和两个东西有关，对吧？这中间是减号，那我们就要琢磨，它是一个什么物理操作过程。比方说你到餐馆吃饭，你用微信付账了，那么你的账头里的钱就会遭遇一个减号；当我们从一个高的台阶往下跳，我们的高度就会遭遇一个减号。所以说玻尔就把这个地方的这个减号，归结于电子本身从一个高的能量状态到低的能量状态的一个跳跃，就是简单地跳，jump Sprung。我们把它翻译成量子跃迁。设想我们从高处往下跳，崴了脚了，我们就会尖叫一声。我们就会想象，如果我们跳的落差越高，我们的尖叫声就越尖，也就是频率越高。玻尔可能就想象，这个光就是电子从能量高的状态跳到能量低的状态下发出来的。类似我们扭了脚的尖叫，所以这个光的频率就正比刚才这两个能量差。这个工作的伟大的地方在哪儿呢？在过去，我们长期地见了太阳发光，见到一团火发光，我们不知道火是从哪里来的，光是从哪里来的。而从这个公式，玻尔就告诉我们，至少就氢原子发光这个问题来说，光是电子从高的能量状态跳到低的能量状态上，发出的那声尖叫。他告诉我们光的来源是什么了。到这为止，这已经是伟大的工作了。

接下来，玻尔要做的事情是解释为什么那个能量状态每一项是正比于一个整数的平方？这个要给出解释。一个电子绕一个质子运动，玻尔又能做什么研究，他只能做经典力学研究。电子绕质子的一个运行，如果你懂经典力学的话，那经典力学现成有一个例子，就是行星绕太阳怎么运动。玻尔就得拿行星绕太阳怎么运动来解释氢原子里面电子绕原子核怎么运动，因为手里只有现成的这一个例子嘛。氢原子这个问题和行星绕太阳的这个问题，它中间有个区别。区别是什么呢？就是我们做经典力学的时候，行星绕太阳运动，那个能量是连续的。可是现在氢原子里面，只能让它取某些固定的值，还正比于整数平方分之一。你要对这件事给我找个理由来。经典力学里面，我们解行星绕太阳转动的这个问题，我们大家回顾一下开普勒三定律。其实他讲了半天就讲两件事情，一个是角动量问题，一个是能量问题，能量决定了轨道的形状。开普勒第二定理说，行星单位时间内扫过相同的面积，实际上说的就是角动量守恒。

好，现在能量这一个东西在我的氢原子这个问题里面由原来的连续的变成了一个只取某些正比于整数平方分之一的。我要给它找理由、找借口。去哪找？我只能跑角动量上找，因为就这两个量。我给一个量找理由，那只能跑另一个量身上找，只能到角动量上找理由。那这就巧了，角动量的量纲恰恰就和刚才我们提到的光的能量正比于频率的那个比例因子h，叫普朗克常数，是同样的量纲，它们俩是一类物理量。玻尔就假设，电子绕这个质子或者绕原子核，它的角动量如果是普朗克常数的整数倍的话，在这个条件下来解这个经典力学问题，发现得出的能量就正比于n平方分之一。

玻尔这项伟大的工作就给我们解释清楚了，氢原子发光这四根或者五根线，为什么在这个位置，频率是多少或者波长是多少。可是我们大家看看，如果你仔细看这几根发光谱线的话，除了位置以外，就没有别的问题了吗？其实你注意还有别的许多问题。比方说，你会发现有的线特别亮，有的线暗。这个强度你要解释。还有呢，你看那些谱线，有的特别窄，有的特别宽，它的宽窄你得解释。还有呢，有的谱线你看似是一根，其实如果你那个仪器分辨率好的时候，你发现它可能是两根或更多，然后还有一点。你把你的发光的光源，就是你的火苗，放到电场下、放到磁场下面，你可能发现原来的那一根线可能变成三根、变成四根了，那这又怎么解释？对这些问题的回答其实就是我们量子力学发展的，至少是初期量子力学发展的脉络。