哥德尔定理的意义

 

 

 

哥德尔想创立一种真正从逻辑的角度出发的概念论的东西。他能够冷静地、审慎地，用纯粹的理性来反思我们人类的知识、精神和心灵，是能够解救我们这个时代各种病症的宝贵的思想资源。

 

 

哥德尔的不完全性定理，它真正的意义在什么地方呢？我认为有这样几个方面。

 

第一，就是数学是不可穷尽的。假设希尔伯特纲领能够实现，所有的数学都可以归属到一个有穷主义的形式系统中去，那么有穷主义系统从某种意义上你可以看作一个计算机。

 

因为计算机做的就是有穷的、机械的事情。如果希尔伯特纲领是对的，没有不完全性定理。那么所有数学就有可能，被一台理想的计算机一步一步算出来。数学就有可能被穷尽，数学家有可能会失业。

 

也就是说数学是可计算的，可以用计算机来完成的。但是哥德尔不完全性定理说出这一件事情是不可实现的。

 

在1951年所作的吉布斯演讲中，他说了这样一句话，他说他的不完全性定理意味着“要么人心能够无穷地超过机器，要么数学不是我们构造出来的”。

 

这样一句话什么意思？第一个就牵扯到人心，用英语的表达是mind。因为当时计算机已经发明了，图灵计算机。我们就马上提出一个问题，就是有没有可能有一天，计算机可以代替人呢?去做人类所做的事情?

 

哥德尔说，他的定理至少表明这个方向上是可能性不大的。就是计算机作为有穷的一个形式系统是永远不可能超过人的心灵的那种能力的。

 

另外一个就是，如果机器已达到人心的能力，那么数学就有可能不是一个客观的东西，数学就可能是人类想象的。哥德尔说这两者之间一定有一个是对的。但是他说不管哪个对，都说明了当代哲学中的叫作物理主义的东西，或者经验论的东西是错误的。

 

因为如果人心能够超过机器，就证明这个世界我们人的心灵不能够还原为机器，不能还原为大脑的运算。如果数学不是我们构造的，数学不是物理的，数学对象是一个抽象的对象，那么它是客观的世界。

 

那就说明了我们存在于一个客观的、抽象的、超越我们物理世界的世界。所以这两者他认为都在某种程度上反对了物理主义的知识观念。这是哥德尔不完全性定理在哲学上的一个重要的意义。

 

那么这个意义又对哲学有什么影响？我们就要讲一点二十世纪的哲学了。二十世纪以来，通过维也纳学派，分析哲学占据了一个主导的地位。但是分析哲学它是建立在一个经验论基础之上的。

 

经验论，从今天的角度来看，就是一种物理主义的立场。那么这种物理主义的立场说到底就是相信这个世界上只有物理的东西，没有所谓的精神的。所有的我们认为超越的东西都最终可以通过物理层面来解释。这是我们二十世纪流行的哲学。

 

而哥德尔恰恰是这个哲学的对立面。所以他认为他的这个不完全性定理恰好说明这个世界上必定存在超越于物理的所在。就是人的精神或者人的心灵应该是在整个科学领域占据着重要的地位的。

 

所以他的目的是想建立一种统一的形而上学。这种形而上学既可以对物理学的事情做说明，也可以对那些概念的世界、抽象的世界或者说柏拉图理念的世界做说明。

 

所以他给自己曾经说过这样一段话，他说，“我想，形而上学是一种哲学，对形而上做的事情就像牛顿为物理学做的事情”。

 

他认为，正是因为牛顿发明了微积分才使得物理学真正成为一种科学。所以他想创立一种真正的逻辑上的，从逻辑的角度出发的概念论的东西。然后使柏拉图以来的形而上学成为一门真正的科学。他的抱负是很大的。

 

这也就是为什么他到了普林斯顿以后，他全身心的在关注着哲学。所以他的文章发表得非常少。但是从他的手稿中看，他仔细地研究了莱布尼茨的哲学，仔细地研究了胡塞尔哲学。他几乎有胡塞尔所有的著作，并且在这些著作上都有批注。

 

他为创立一种自己的那种真正的哲学在努力。可是这个哲学没有最终完成。我们只能在他未发表的手稿中还有在王浩对他的思想的记录中来片段地看到问题。

 

但是仅仅从这些片段，我们已经看到他的那种闪光的重大的意义。在我看来，这个重大意义，最主要的意义就是，事实上西方哲学到二十世纪以后，从柏拉图和亚里士多德建立的希腊的传统，那种理性主义的传统受到了极大的冲击。

 

就是人越来越不相信有一个客观的关于理念的世界，人们越来越相信物理的东西、物质的东西。越来越不关注那些经验、感性的、感觉的东西。

 

实际上非理性的因素在人类的思想中占据着越来越大的地位。这个我们每个人都能够感受得到。两次世界大战和整个二十世纪各种政治、经济、文化的冲突，从某种意义上反映了这种哲学的变化。

 

所以在这么一个纷乱的时代，哥德尔能够冷静地、审慎地，用纯粹的理性来反思我们人类的知识、人类的精神、人类的心灵是难能可贵的，是能够解救我们这个时代各种病症的宝贵的一个思想资源。

 

所以我觉得今后对哥德尔思想的研究是有非常重大的意义的。哥德尔文集的整理者之一叫道森，他曾经写过一篇文章就是《哥德尔学者今后的任务》，研究哥德尔学者今后的任务。

 

实际上有这样几个任务，当然从某种意义上，从材料积累上，就是哥德尔的手稿现在整理可能还不到十分之一，花了很多年。因为哥德尔手稿的记录后来都是用一种德语的速写体写的。懂这种德语的速写体的人已经非常少了。因为现在已经没人用了。

 

那么把它从这种速写体转换出来是一个大的困难。但是哥德尔手稿现在都保存着。而且普林斯顿制作了微缩胶卷。我在哈佛大学时看过那个胶卷，当然我也看不懂。只不过是抱着一种崇敬的心情去看这个胶卷。

 

那怎么样把这些十分之九的还尚未整理出来的文稿整理出来呢？现在我知道实际上有很多包括法国已经在做这个事情了。

 

道森就说，这里面绝对是一个宝藏。不管是数学的、逻辑的还是哲学的，都是宝藏。我觉得这是一个具体的任务。

 

更重要的就是刚才我说到，我们怎么能从哥德尔这种清澈的理性主义的思想中汲取营养来面对或者说处理、应付我们这个时代？

 

针对那些各种非理性因素的爆发，怎么样把哲学和古希腊理性主义，把康德、黑格尔、德国古典哲学接续起来，我觉得这可能是作为哲学界研究哥德尔思想的一个重要的意义。

 

说到这里，哥德尔其实还有一个影响很大的思想。就是他曾经做过一个关于上帝存在的本体论证明。这个证明专门有人写过博士论文。最近我们系还有一个老师想讨论这个事情。

 

那么哥德尔用现代逻辑的办法给出了一个可以证明上帝存在的逻辑，当然这个东西并不是说它是一个教徒、信仰。

 

当然哥德尔是有宗教信仰的，他是相信上帝的，他相信灵魂。但是他这个信仰不是一般的教徒那种狂热的或者是盲目的信仰。哥德尔这些信仰是建立在他那种冷静的、理性的基础之上。

 

这一点和爱因斯坦是非常相像。因为爱因斯坦也曾经说过，他是信仰神的。但是他说他信仰的是斯宾诺莎的那个上帝。这个上帝不是有喜怒哀乐，对人进行什么惩罚的上帝。这个上帝说到底是使这个世界和谐地存在的原因。

 

因为所有的理性的哲学家，一旦张开眼睛观察这个世界的时候，他们共同的一个特点就是产生一种惊奇——这个世界为什么如此和谐地存在？这个世界为什么是有规律的？

 

物理学可以描述这个世界怎么运作，但是这个世界为什么这么运作，为什么如此协调和谐地运作？爱因斯坦就说，为什么我们能用那么简单的几个方程来表达出这个世界？

 

所以这是一个重大的哲学问题。这个哲学问题在柏拉图那里就被提出来。波拉图说，哲学始于惊奇。这个惊奇不是对五颜六色的惊奇，就是对世界的那种和谐的、有规律性的惊奇。

 

后来莱布尼茨把这个话更具体地表达出来。莱布尼茨说这话说得比较哲学了。他说：“为什么存在存在，而无却不存在？”

 

他说世界令我们惊奇的不是它是如何存在，而是它居然存在，居然我们都在这儿，居然我们是按照服从了那么多规律。所以我觉得这是哥德尔思想第二重要的意义。

 

第三个重要的意义我觉得是我们人类显然有一些知识，这些知识是关于抽象性的。比如数学，比如逻辑，比如哲学甚至伦理，我们还有美。我们对这些东西都有感受。

 

为什么我们对这些东西的知识，这些认识和我们关于经验世界能够触摸到的东西的知识，那么和谐地配合在一起？

 

有一个人曾经说过，你给我一个函数，我把它输入计算机的时候，它会在这个屏幕上产生一个物理的轨迹。他说这也是令人惊奇的。因为函数是我们没法看见的。

 

我好像在那个屏幕上看到了函数，但是事实上所有的数学的对象都是抽象的，是我们没法感觉的。物理主义、经验主义就是在这一点上来批判理性。

 

就是说数学的东西和我们没有任何因果的感知。你是怎么认识到？所以它肯定是我们想象的。但是如果是我们想象的，它又是为什么跟我们的经验能够那么和谐地配合？

 

我们可以想象一个物理的对象可能违背我们直觉，违背我们物理直觉 ，我们可以想象一个人拎着自己头发把自己拎起来。

 

虽然这是在物理上不可能的，但是我们根本都不能想象一个违背任何数学方程式，任何数学定律的问题。那都是不可想象的。

 

所以数学的客观性和对于经验世界的适合运用性，这也是一个重大的哲学问题。这也是值得我们今后做哲学的需要从哥德尔思想中进行体会的。

 

对哥德尔不完全性定理，准确的理解就是说，你要知道数学是不可穷尽的，是不可能通过一个有穷的、机械的方法把所有数学定理罗列出来的。

 

哥德尔曾经说过，就是我们在物理世界中，物理世界的所有的定律是我们去发现的，这个不是我们自己想象出来的。我们拿着望远镜到处去看，最后总结出规律。所以物理规律是发现。

 

那么不完全性定理的意义就是从不完全性定理角度来看数学。实际上数学定理和物理的定理是一样的。也是数学家去发现的。数学家通过观察数学世界，这个数学世界就是这些数、这些性质，他们看到了一些定理。

 

这个看不是用眼睛去看。哥德尔是用直觉。他认为我们作为有理性的人，有一种直觉的能力。这种直觉的能力可以来观察这个数学世界里的各种各样的事实。

 

你观察到那个事实，实际上就是一个数学定理。那么当你观察到这个事实以后，你要把它证明出来，实际上是你把你观察的这个事实说出来跟大家交流。

 

所以数学家往往是先有一个不完全性定理直觉，最后才把这个证明写出来。那么在这个过程中，哥德尔说 ，你永远不要有一天有可能穷尽数学世界的所有事实，想要把所有的事实都证明，不完全性定理是说这一点是不可能的。

 

正像我们也不能设想有一天关于物理世界的所有的定律我们都能发现。但是事实上，关于物理世界的所有的物理定律就是完成了的物理学，是你们设想出来的。

 

在1900年前后的时候，这一点有记录。就是开过一次物理学家的大会。在这个大会上，有一位物理学家说，现在物理学已经是一个完成了的科学。除了有两朵云彩，这两朵云彩导致了什么？导致了相对论和亚里士多德力学的结论。

 

彻底的颠覆了牛顿时代的物理学。所以，在那个时代，大家认为物理学有可能完成。那么这种事情，实际上也是在数学中哥德尔不完全性定理导致了类似现象发生。

 

如果希尔伯特计划成功，那么我也可以说，数学基本上是完成了。因为我不用再担心它里面有什么矛盾。但是正是因为不完全性定理使我们认识到数学或者数学世界的那些真理，我们人类是永远不能穷尽的。