网络与数论难题

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奇妙的是，利用中国的剩余定理，高斯二次互反律、狄利克雷定理等，可以证明任何一个无向网络都能够同构或者是对应到某个素数的平方剩余网络

最后谈一谈我们发表在《数学文化》今年第一期上的，还没有完成的工作。自然数同余关系的直接推广是二次剩余或平方剩余。给定一个素数p和一个自然数a，如果存在某个自然数的平方除以p有余数a，则称a是p的平方剩余，否则称它是非平方剩余。为了简单起见，现在只考虑全部的素数，如果q是p点平方剩余，那么我们就把p到q连一条线，这样就得到了平方剩余网络。它的补网络就是非平方剩余网络。

研究这种网络有何应用呢？我们以千年数论难题之一的同余数问题来讲述有关的故事。二次费马不定方程，显然有整数解。我国古代《周髀算经》中的商高定理就有“勾三股四玄五”之说。国外也称它为“毕达哥拉斯三元组”。这个直角三角形，它的面积是六，它是一个自然数。推而广之，若一个自然数是某个有理数边组成的直角三角形的面积，那么这个自然数我们就称它为同余数。所谓同余数问题是说：寻求比较简单的判别法则来决定一个自然数是否为一个同余数。

为了研究同余数，数学家通过把满足同余数的方程经过变形，构造了一条特殊的椭圆曲线，。可以证明，如果n是同余数，则这个椭圆曲线上一定存在着非零的有理数点，而这些全部的非零有理数点按照曲线上的这个点的加法，形成一个阿贝尔群。这个阿贝尔群元素可能是无限的，我们同时还可以把这条椭圆曲线在有限域上来考虑，比如说素数p的有限域上来考虑。这个p是除掉n的素因子以外的任意素数都可以。基于这两个点群，数学家又构造了一个狄利克雷函数，并且提出了一个BSD(贝赫和斯维讷通-戴尔)猜想。这个猜想是著名的7个“千禧年大奖难题”之一。如果BSD猜想成立，则可以证明自然数当中用8去除或者叫模8，余数是5、6、7的，这样一些自然数都是同余数，这是非常了不起的结果。

自然数模8的其它余数中发现既有同余数也有非同余数。如何判断一个自然数是非同余数呢？我国数学家冯克勤对满足某些条件的无平方因子的自然数，它的素因子构造了一个非平方的剩余网络。通过验证网络拉普拉斯矩阵在二元域上的秩来判断网络是奇性网络还是非奇性网络，如果是奇性网络，它就是非同余数，如果是非奇性网络，它就是同余数。

研究自然数网络实际上还与复杂网络的发展密切相关。例如，由于同余数网络可以取不同的余数，很容易构造多层网络，来求解一组同余数方程式。又如，利用计算机去计算二次费马不定方程从小到大的整除解并不困难。若我们把上述解中出现的自然数看成节点，每组解看成一条“超边”（因现在一条边有三个节点），则可以画出勾股弦数的超网络图。多层网络、相依网络、超网络等等，都是复杂网络研究的新课题。更为奇妙的是，利用中国的剩余定理，高斯二次互反律、狄利克雷定理等，可以证明任何一个无向网络都能够同构或者是对应到某个素数的平方剩余网络。如果能够利用网络解决掉某些数论里面的难题，我相信将开辟网络数论的新方向。