《日出:量子力学与相对论》（下）

 

 

 

海森堡用矩阵的形式来描述量子力学，而且他又跟接下来发生的薛定谔的波动方程的结果进行了类比、对比，发现都对得上。这样。整个量子力学的一个大的图像就是完整的了，就是一个完整的理论。

 

 

这本书是一本科普小说，所以我采取了一点科普小说化的一个描述方法。就是有些事情是想象的，是虚构的。但是它不会影响物理的实在和实质。

 

在这个故事当中，我是这么来讲的。我说，有一天薛定谔希望得到这个波动方程，于是他去拜访了他的一个学长的墓。他那个学长是谁呢，就是玻耳兹曼。因为我们知道，玻耳兹曼是一个统计学家。

 

玻尔兹曼的墓碑前面写了一个公式，这个公式非常的有名，叫做S=кlnW。其中这个к是玻耳兹曼常数。S是一个孤立系统的一个熵。W是这个系统的宏观状态。所对应的一个微观状态的数量。那么，这个公式非常的有名。

 

作为一个学弟，因为他们都是维也纳人。然后又是老乡。所以薛定谔站在这个墓碑前，他可能会有所想象。那么他的想象是什么呢？我们知道，如果我们把一个苹果放在手上，然后松手它掉下去一定是走直线。

 

但它为什么不走曲线呢？为什么不弯着走呢？是因为你往前直着走的话，它的作用量是最小的。这个叫做最小作用量原理。最小作用量原理是描述了我们宏观世界的一个所有运动的基本的规律。

 

那么薛定谔他要去搞这个波动方程的时候，他脑子里有的东西就是这个最小作用量原理。因为它很基本。还有一个就是他的学长，那个墓碑上写的熵增加的原理，就是 S=кlnW。

 

那么做为一个很天然的想法，在我的书中我是这么来描述这件事情。我想薛定谔，他可以来模仿他的学长的一个成名之作吧。就是S=кlnW。那他怎么来做呢？

 

因为我们知道，一个系统的一个粒子的作用量S，如果它也可以写成类似于那种对数，就是像前面讲过的那种对数的话，那么S应该等于什么呢？

 

在我这本书中，我把这个写了出来，就是S=-ihlnΨ。这是认为薛定谔当时脑子里想的东西。这个东西是什么呢？S是作用量，负是负，i是根号负一，是一个虚数。h是普朗克常数，logΨ中Ψ是波函数。就是它是描述波。

 

它需要有一个东西。那这个东西就是波函数。那么也就是说，他让作用量也等于一个对数。是等于谁的对数呢？是等于波函数的对数。这是一种猜想。你要问这个猜想薛定谔怎么来的，我们也不知道 。

 

因为量子力学是对经典力学的一个跨越，一个提升。它是突然发生的。这个发生的过程其实是非理性的，也是非逻辑的。就是他突然做了这么一个类比。这个类比做了以后你会发现他是对的。

 

大家可以去看任何的一个量子力学书上都有这个公式。你只要取下对数的话就会得到我刚才说的这个表达形式。也就是说你要把一个粒子的作用量，经典的作用量与它的对应的波函数做一个对应的话，这个对应关系是什么？也是一个对数。跟那个墓碑上写的是一模一样的。

 

就是我做的一个类比，也是我觉得是薛定谔当时猜想出来的。那么有了这一部分以后呢，因为我们知道作用量是满足所谓的哈密顿-雅可比方程的。所以你可以把这个东西带到哈密顿-雅可比方程当中，就可以得到我们后来知道的所谓薛定谔方程了。这就是薛定谔的波动方程的来历。

 

薛定谔实际上他作出这个发现的时候是在1925年的圣诞节。那个时候他带着他以前的一个女朋友，一个小女朋友。这个女孩子的名字叫什么现在也不大可以考证。但是他们一块儿在阿尔卑斯的滑雪场过了几天几夜。

 

然后我在这个书中也描述了他们在这个滑雪场的一些经历。然后，总的来说就是薛定谔他做了这么一个类比。然后同时又跟他的那个小女朋友在滑雪的这个过程中受到了感情的冲击。然后才有他后来的这个天才的发现。

 

这个天才的发现就是薛定谔方程。这个薛定谔方程的出现就标志着量子力学是一个完整的理论，是一个很好的理论。为什么？因为之前有海森堡已经得到了所谓量子力学矩阵的一个波矩阵的方程。

 

那么这个波动方程和矩阵方程是可以相互验证的。而且薛定谔的这个波动方程可以解出那个氢原子的光谱。也就是这个光谱的在什么频率上出现那个光是可以算出来的。

 

现在我来给大家介绍一下这本书的第七章。第七章我写的是玻尔。它的题目叫做“十年前的玻尔”。实际上大家都知道，玻尔他是被称为量子力学的一个祖师爷式的人物。

 

为什么会这样呢？一方面是因为他后来成立了一个哥本哈根研究所。这个研究所是在嘉士伯啤酒等这些基金的支持下成立的。另一方面是因为他提出了一个比较重要的东西。

 

这个东西是什么？也就是说他把电子和光子这两件事情给联系起来了。这是一个进步。

 

大家只知道光是有频率，可是不知道这个光的频率是怎么决定的？玻尔他提出了一个公式。我们都知道就是E，E是表示能量。E括号里是m+n，然后减去E，E括号里是n，会等于hv(m,n)。

 

也就是说v是表示光子的频率。也就是说方程的左边是电子的能量的差。就从一个能级跳到另外一个能级，再跳下来的一个能量的差。而方程的右边是光子的一个频率。也就是联系到这两个能级。

 

那么这件事情其实是有点突然的。我们需要面临的一个问题是什么？就是我们怎么样来求出E(n)的这个表达式？你也可以把E(n)称为数论函数。

 

为什么呢？也就是说这个n是一个整数。那么它的自变量是整数。那么n是一个数论函数.类似于像我们以前来描述兔子问题的有一个叫做所谓菲波那切数列.

 

玻尔遇到的一个函数方程更复。复杂在于E(m)与E(n)的差值是电子的能量差。而后面是光子的东西。那么一个很自然的问题是什么？你去模仿一下菲波那切数列你会发现，你需要把光子那部分也变成电子的那一部分。

 

也就是说你把光子的表达式也变成E。就是电子的能量E。那么在这里就需要做一个跳跃，需要有一个假设。这个假设是什么呢？这个假设实际上就是大家都知道的玻尔的对应原理，它大概说的意思是什么。

 

也就是说，当这个电子绕着原子核绕一圈的时候，他说我如果发出光子，那么这个光子的频率跟电子绕着原子核绕一圈的频率是同一个频率。

 

这样，它就可以把光的频率跟电子绕原子核转一圈的频率给联系起来。这种联系就使得我们知道，把刚才那个关系是完全写成了一个电子的能量差与电子的某个频率之间的一个关系。

 

那么电子的这个某个频率是什么呢？大家可以用经典力学马上算出来。就是电子绕一圈的那个经典圆轨道的频率。实际上是跟它在那个轨道上的能量的二分之三次方成正比的。这个是高中生都可以做的。

 

那么有了这些以后，你就可以知道这个差值是等于那边这个能量的二分之三次方。那么我们知道差值是什么的话，如果你把这两个东西差值取的特别小的时候，我们近似认为它是微分。

 

也就是说这个ΔE比上ΔN，也就是说能量E和整数N之间的微分是等于这个能量E的二分之三次方的正比的。这样的话，你就可以算出E本身跟N的关系，应该是E是正比于N的负二次方。这个是一个简单的微积分。

 

那么这个微积分一做出来，你就马上有个非常惊人而且非常重要的发现，是什么呢？也就是说氢原子核外电子的它的这个能量是跟它的能级数N的2的平方的呈倒数关系。

 

也就是说E(n)是正比于N的负二次方。这个就是当时玻尔所做的工作。这个工作在我看来是非常惊人的。为什么？因为他从一个基本假设出发，就是电子的能量差等于光子的那个频率，就是正比与光子的频率。

 

从那开始，然后他突然跳了一层说这个光子的频率是跟电子绕着原子转一圈的频率相等的。然后他再把这个电子绕原子一圈的那个频率用能量表达出来。然后他就把全部换成电子的东西，然后再把它取一个极限。

 

就是把那个差值认为是一个微分。然后你就可以得到一个微分等于那个函数。这是一个简单的微分方程，你就可以解出这个电子的能级表达式。那么有了这个东西，就已经可以解出氢原子的全部的光谱了。

 

现在我来讲一讲这本书的第十章。第十章是这本书点题的一章。这一章写的是海森堡日出。海森堡是在海边看日出的时候，那个时候，他实际上因为心情非常高兴，所以他凌晨的时候站在海边等待太阳的升起，朝阳的升起。

 

他为什么那么高兴呢？因为他得到了量子力学的矩阵的表达形式。那么什么叫矩阵呢？矩阵很简单，也就是一些数。比方说像我们以前中国古代有一个所谓河图洛书这样的作品。他们说在乌龟的上面发现了什么、发现了123456789这些数的排列。

 

然后它排列不是这么顺着排的，而是排好以后使得每行、每列、每条斜线就是呈一个3乘3的九宫格。每个斜线的和和每行每列的和都等于15。这个当然叫做魔方，或者叫做幻方，magic square。

 

但是也可以称它是一个矩阵。我曾经还自己做过一些研究。我发现什么呢？发现你如果把它看成一个矩阵的话，那么刚才那个magic square你可以求它的行列式。你也可以求它的所谓的本征值，或者特征值。

 

那么这个特征值和行列式之间满足关系也就是说最大的特征值应该是等于行列式的那个值。这在当时的我看来是一个类似于海森堡发现矩阵力学的发现。我自己觉得非常的惊人。

 

为什么？因为这个发现对所有的魔方都是对的。不但对3乘3是对的，对那个4乘4啊，5乘5都是对的。这是一个非常震惊的发现。我那时候也很兴奋。所以我想到了海森堡的日出，同样做研究的话都会有这种感觉。

 

就是你很兴奋得时候，你会凌晨睡不着觉，然后去看日出类似这样的行为。那么海森堡是怎么回事儿呢？在我的那个书中，我把他描述成其实是暗黑的一个年轻人。

 

为什么暗黑呢？说他黑是因为他后来帮希特勒做原子弹什么的。然后试图有点想毁灭人类的那种情怀吧。也不能叫情怀，就是有这种情结。那他为什么会变得那么坏呢？当然这是小说了。但是你可以构造他，就是他是怎么来历的。

 

因为当时的德国在一战以后，它的那种社会环境啊，这种弱肉强食的社会，而且包括军事化的这种体制引起的他这种比较暗黑的心理。然后海森堡本身他还遇到一件事情，是这本书里写的。

 

就是1923年的时候，他博士论文答辩，当时是在慕尼黑大学跟索莫菲一块儿做研究。但是博士论文答辩的时候，因为他做的是湍流，是一个不可能解决的问题。那个时候当然他做的也不够好了。因为这个问题太难了。

 

就是湍流到现在都没有完整的解决，就是N-S方程的那个全局的解还没有找到。那么海森堡做类似的问题当然很困难了。但是有一个答辩委员会，有一个人叫做维恩。

 

维恩是谁？他当时已经得诺贝尔奖了。维恩在黑体辐射当中有一个非常重要的定律叫做维恩位移定律。他觉得海森堡这个博士不行啊，不能毕业。所以当时海森堡答辩的时候，就一直不让海森堡毕业。

 

这让海森堡比较的郁闷，比较的愤懑。他心想我15岁就自学微积分，高中毕业就读了外尔的相对论。我自己觉得自己也还是挺用功的、挺认真的、挺好的一个学生。你为什么不让我毕业？就是因为我做的问题是一个做不出来的问题对吧？

 

所以他对维恩充满了恨。我觉得这里是可能有这种隐喻，这种暗示吧。所以使得他后来在他的老师的索莫菲的帮助下他还算是拿到了博士学位。但是他从此就恨维恩他们这样的人。也就是有点对他的人生后来的成长也起了影响。

 

就是他变的追求权力。他既是一个科学家，但是他又有政治上的一些追求。所以他后来也帮希特勒去做原子弹。而且他成为一个比较重要的核心的科学家。海森堡发现矩阵的形式来描述量子力学，这是我这本书的一个主题。

 

海森堡他所作的东西，实际上跟我在前面讲到过的玻尔他所做的事情是倒过来的。大家想想 ，玻尔做的事情是什么？是有了电子，有了光，然后他把光的频率改成了电子的一个能量，这些函数的表达形式，就是他把光抹掉了。

 

那么海森堡不是这么做的。海森堡是要把光留下来。在他说来，就是直接面对可观测量。为什么？因为大家都知道一件事情是电子的轨道。就是玻尔他所做的事情是电子的轨道。

 

实际上对我们人类来说是不可观测的。就是我看不到电子的轨道，我唯一能够看到的是什么？是光，是光的频率，是光的一些强度。这个叫做可观测量。那么，海森堡他是反其道而行之，他是把那些看不到的东西抹掉，用可观测的东西来做物理。

 

那么你要去想这件事情当然很好了，可观测量。可是，有一个很典型的问题在那里。我们以氢原子举例子。氢原子它所发的光的频率不是连续的，它是离散的。而且它离散之间的间隔也是不一样的。它不像我们说的123456789都有。

 

我前面讲过，它是跟N的倒数，就是N平方的倒数呈正比的。首先是1嘛，一分之一是一对吧。那二分之一的平方，就是变成四分之一了对不对？间隔是一，四分之一、九分之一，然后十六分之一就是这种间隔。

 

那么这种间隔出来的话会遇到一个什么问题？我在前面也讲到过，就是海森堡他希望用这些频率来做事情，光的频率。因为它是可观测量。遇到频率的时候，你自然的会想到一个数学工具，就是傅里叶变换。一个周期运动，它的傅里叶级数，它的频率是都有的。它是123456789都有的。

 

那么现在光的频率它不是都有的。那请问我该怎么办？这是个基本的问题。海森堡他现在要描述这个圆周运动，可是他做傅里叶展开的时候，他用到的是光的频率。我们知道，光的频率，刚才讲过，它是一分之一、二分之一的平方，三分之一的平方，四分之一的平方是这样。

 

但是它也应着去把电子圆周运动的轨道用这种光的频率去展开。那么可以展吗？可以展。他假设他已经展开了，所以他可以写成一个我在书中称为一个类似的傅里叶变换。

 

做了以后，他马上就会遇到这个光。因为知道，它是两个能级，它有两个下标。就是一个能级跳到另外一个能级这两个下标之间的关系。他会遇到一个跟电子的轨道不同的轨道之间的问题。

 

那么如果光从一个轨道跳到下面一个轨道，然后接着又跳到另外一个轨道，应该与光直接从第一个轨道跳到第三个轨道应该是一样的。它发出的光的频率，用这个的话，他就可以知道刚才那种方法来做的变形的傅里叶变换的方法。

 

然后把刚才我说的那个事情给用起来的话，就可以得到矩阵的乘法。就是把这几个指标都给一一的对上。这个矩阵的乘法，当时他自己写出来以后也是写的模模糊糊的。然后他就去问，因为他当时已经在玻恩那了。他就去问玻恩。

 

他说我这个东西弄是弄出来了，弄的也稀里糊涂的，他说你帮我看看我这个东西是什么。玻恩看了一下，说看你有那么多指标的话，好像应该是一个矩阵的乘法。

 

因为玻恩以前跟希尔伯特他们一块儿是学过数学的。所以，一语惊醒梦中人。海森堡这么一弄，把大家都引到了矩阵这一个领域。

 

我来总结一下说的是什么，就是海森堡为什么能够搞到矩阵。是因为他其实做了一个傅里叶变换，然后再从这个变形的傅里叶变换当中搞到了矩阵这儿。

 

所以我一开始就说过，傅里叶为什么是一个绕不过去的存在就是因为这个原因。海森堡的这个工作是一个千古之作了。所以在1925年之前的漫漫的长夜当中，虽然有玻尔他的那个E(n)正比n的负二次方这种表达式，但这个表达式的来历实际上不够清晰。

 

那么海森堡用倒过来的方法又做了一遍。然后也得到同样的结果。而且他又跟接下来发生的薛定谔的波动方程的结果进行了类比、对比，发现都对得上。

 

这样的话，整个量子力学的一个大的图像就是完整的了，就是一个完整的理论。这是一个比较有趣的事情。量子力学的一个基本的事情就是这么发生的。