不完全性定理

 

 

 

关于数学的整个一致性证明不能在现有的数学基础上完成，这是一个永远不能完成的事情。这就是哥德尔的不完全性定理。这也宣告了希尔伯特计划的失败。

 

 

我们接下来就谈一谈哥德尔的不完全性定理。它为什么这么吸引人，为什么使哥德尔成为最伟大的逻辑学家？

 

据说哥德尔在有一次生病的时候，奥本海默，被称为“原子弹之父”之一的物理学家奥本海默。他曾经对给哥德尔治疗的医生说，他说，你的病人是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家。

 

另外一个叫魏伊（Weyl）的，就是希尔伯特的一个学生。后来也在高等研究院。他应该是在哥德尔的追悼会上这么说，他说2500年来，唯一能跟亚里士多德说“我和亚里士多德”的人，只有哥德尔，而且是毫不夸张的。

 

后来甚至有人说得更绝对，就是说：把哥德尔和亚里士多德相提并论，并不是对哥德尔的赞扬，一点都不是对他的吹捧。究其原因，最重要的就是哥德尔的不完全性定理。

 

哥德尔在接受哈佛大学荣誉教授的时候，当时也是伟大的哲学家蒯因介绍他的工作的时候说，哥德尔证明了本世纪最有意义的数学定理。哥德尔对这句话非常的接受。他后来写信给他母亲时提到了这个事儿。

 

但是他说，最有意义这件事情并不是说他是最伟大的数学家。哥德尔说我不是。而是说不完全性定理在所有的数学定理里有着最一般的意义的，就是超出数学之外的，有着最一般的哲学意义。

 

那么我们讲，他的哲学意义在哪儿？这要从一个当时数学基础的发展背景来讲。到了十九世纪末的时候，这个数学基础居然还没有建立起来。在克莱因的《古今数学思想》上，他说这是一件令人惊奇的事情。

 

为什么呢？因为当时关于实数这个概念，关于实数到底是什么没有一个完全合理的解释。那么为了这个建立一个数学基础很多数学家做了工作。

 

最主要的工作是康托和戴德金，这个工作在今天就被称作公理集合论。集合论为整个数学理论建立了一个坚实的基础。

 

但是建立数学基础为什么发展了几百年上千年都没有最终建立？就算从牛顿的微积分的建立到实数理论建立也有几百年。

 

为什么没有能够建立合理的数学基础？这里面最重要的原因就是关于“无穷”这个概念。就是“实无穷”，就是完成了的无穷。在数学中，数学家不知道这是什么。

 

但是要建立一个合理的坚实的实数的理论基础，“无穷”的概念就是不可避免的。所以康托的集合论，实际上等于是在数学中引入了“无穷”的概念。

 

但是当时引入这个概念以后，被传统的数学家，包括当时他的老师克罗内克都是极力反对“实无穷”的。所以康托曾经一度精神失常，就是因为此受到各个方面的批评和压力。

 

但是真正对他的打击，真正对这个“无穷”概念提出巨大挑战的，非常著名的，就是罗素悖论。

 

1902年罗素给弗雷格写了一封信。实际上弗雷格本来是在集合论的基础上，再利用数学逻辑就可以给全部数学打造一个坚实的基础。但是最后在这个基础上，罗素发现了悖论。

 

所谓悖论，实际上就是一个自相矛盾的问题。我们从它的成立可以得到它的否定，从它的否定可以得到到对它的肯定。悖论这个现象很早在希腊时候就发现了。

 

最早的时候就是说谎者悖论，说有一个人到了克里特岛上遇上一个人。这个克里特岛人说，“所有克里特岛的人都是说谎的”。那么说这句话的克里特岛人是不是说谎？

 

如果他是说谎的，那这句话是假的；如果他说的是真的，那么他又在说谎。但是罗素悖论跟这一类悖论又不一样。罗素悖论我们用术语说，就是“所有不属于自身的集合”构成了一个集合。

 

那么这个集合还属不属于自身？如果它属于它自身，那么它就不属于自己。如果它不属于自己又会属于自己。这样说起来有点抽象。

 

罗素自己举的一个例子，就是著名的理发师悖论。他说一个理发师，他给自己定了一个规矩，他“不给那些给自己理发的人理发”。那么就问，“这个理发师给不给自己理发”？

 

如果他给自己理发，他就属于那些“给自己理发的人”，他应该不给自己理发；他不给自己理发呢，他是属于那些“不给自己理发的人”，所以他就应该给自己理发。这是他举的一个例子。

 

但是这些我们可以不管。罗素悖论打中了集合论的一个基本概念，就是关于集合“属于”的这个基本概念。这个悖论提出来以后，数学家和哲学家对这个事情的反应非常强烈。当时大致形成了三个流派。

 

最激烈反应的流派叫作直觉主义。这一流派的创始人是布劳维尔。他是一个荷兰的数学家。布劳维尔认为悖论的产生是和你把“实无穷”引入数学有关的。所以你要想解决悖论，你要把“实无穷”从数学中赶出去，不要有“无穷”概念。

 

那么这样又回到我刚才说的数学基础建立之前的状况。也就是说，倘若那样的话，我们必须牺牲掉现有数学的很大一部分。

 

第二个思想就是希尔伯特。希尔伯特曾经有一篇文章就叫《论无穷》。他提出来说，谁也不能把我们从康托创立的乐园赶出去。他说你让数学家不用无穷，就像让拳击手不用拳击手套一样，他说这个我没法工作。

 

那么他提出了一个重要的想法。他说我们也不能无视这个悖论矛盾。提出的这个想法现在叫作希尔伯特纲领。他的意思是说无穷可能会有矛盾。但是有穷的数学是可靠的。

 

如果我们能够设计一种方法，就是用有穷的数学来证明所有无穷的数学是没有矛盾的。他给了一个术语叫作“一致的”。那么现在就好办了，因为有穷是可靠的，有穷的数学是可靠的。

 

那么我们用有穷的数学能够证明所有的数学，包括无穷的数学是一致的，没有矛盾的。那么数学就安全了。这就是希尔伯特纲领的基本思想。

 

第三个就是逻辑主义。罗素和弗雷格的逻辑主义这一派的想法就是我们如果能把数学建立在逻辑的基础上，那么逻辑是可靠的。

 

所以当时数学基础有三大派。那么哥德尔不完全性定理就是跟希尔伯特计划或者希尔伯特纲领是密切相关的。事实上，哥德尔作为一个年轻人，他解决了完全性定理以后，他就直接开始在希尔伯特纲领下工作。

 

他在设想一套办法来按照希尔伯特纲领用有穷主义数学来证明无穷数学的一致性。哥德尔就在做这个工作。在这个过程中他发明了很多办法，怎么样用有穷的东西证明无穷。

 

哥德尔想，不管数学用来考虑多少无穷，你是在语言中讨论，用符号去写的，所有人能写的符号或者语言，这个东西是有穷的对不对？

 

我可以把这些有穷的数学符号，也就是说我们的语言用自然数编码的办法把它编到自然数里面去。那样就可以在自然数里面讨论整个数学语言、整个数学的证明。包括关于无穷数学。

 

他想用这种办法来证明数学的一致性。最后在1931年，他得到一个什么样惊奇的结果呢？

 

他说按照这一套编码，不用说证明全部数学的一致性，就是验证有穷数学那一部分的一致性，就是我们今天所谓的皮亚诺算术，或者说我们一般理解关于自然数理论的一致性，也不可能在自然数这个领域中得到证明。这就是他的不完全性定理。

 

那么这个不完全性定理分两个。第一个不完全性定理主要说的什么意思呢？就是说有一个关于自然数的语句，自然数就是12345，2+2=4。这些都是关于自然数的语句。

 

哥德尔说，我能找到一个关于自然数的语句。这个语句是真的，我们都知道它是真的，但是你用现有的自然数的东西是不能把它证明的。这就是不完全的意思。

 

也就是说，我们现在证明自然数里面的数学那些办法是不足以证明关于自然数的全部真理的。而且这种不完全不是说暂时的不完全，不是说你现在不完全。我们把这个理论扩大一下，那不就完全了吗？

 

事实上哥德尔证明的是什么呢？你不管怎么扩张，你扩张到一个新的一致的理论，又会产生新的不完全性定理。这是他的第一不完全性定理。

 

他的第二不完全性定理，就是后来冯·诺依曼回去想到的。第一不完全性和希尔伯特计划关系还不大。第二不完全性定理实际上说的是什么呢？

 

我们把自然数整个理论放在一起，我们说这个“理论是一致的”这一句话，可以表达成一个算术句放到自然数里面去。

 

那么说“整个自然数的理论是一致的”这句话，在自然数这个理论本身中是不可证明的。所以这就是他的第二不完全性定理。

 

那么这意味着什么？意味着希尔伯特说的用有穷主义数学来证明全部数学的一致性这件事情是完成不了的。一个数学中最小部分的一致性证明都不能在有穷数学里完成，更何况整个数学？

 

所以，等于是关于数学的整个一致性证明不能在现有的数学基础上完成，这是一个永远不能完成的事情。这就是不完全性定理。这也宣告了希尔伯特计划的失败。由于不完全性定理证明本身是很复杂的，这里我们就不再具体讲。