《数学分析八讲》

 

 

 

    应该让学生们知道数学应该怎么学。学数学不光是做几个习题，或者将来通过一次考试或者得到了什么东西，最要紧的是知道我们的前人是怎么想这个问题的？他们在想这个问题过程中遇到过什么样的困难，又怎么样来克服这些困难。学数学最要紧的就是掌握idea的问题。要让学生知道这个idea到底是怎么回事。

   

 

今天借这个机会向大家介绍3本书。

 

第一本书是《数学分析八讲》（邮电出版社2015），这是一本为高校学数学但不一定是数学专业的学生或者教师写的，是从俄文翻译出来的。原书的作者辛钦是一个非常好的教师。他还有一本书叫《数学分析简明教程》，上世纪 60年代北京大学翻译过，北大数学系自己也写了一本数学分析教程。而在我看来，这本教程，大概是新中国建立以后，数学分析方面的教科书中写得最好的一本。

 

辛钦当时有一个想法，既然这些工程师需要数学，但是又不可能像大学生一样重新念一遍。因此他就下了一个决心，把数学分析中最基本的东西总结起来。他最初是作了12个讲演，后来慢慢压缩成为8个，就是书名中说的8讲。他的意图是把数学分析最基本的东西总结起来，并且用大家都能够懂的语言写出来。“通俗”两个字是非常不容易做到的。两个字一个是“通”一个是“俗”。真正好的通俗书，要做到“通”，就是真正能抓住问题的实质，又要“俗”，要大家都能看得懂。他写的非常简要。就是因为太简要了，尽管辛钦是个大人物，但是有两个情况是他克服不了的。

 

第一是科学在发展，只有发展到一定程度才任意为大家注意到。举一个例子：像这个数学中的紧性这个概念，这个概念出现得比较晚。虽然到了上世纪40年代以后，发展的很快，例如研究点集拓扑学的人、大家都懂，但是在辛钦年轻的时候就从事基础的微积分教学的教师中、知道这个东西的并不太多。因为对于大学生接触过这个概念的人不多，所以辛钦的这本书上凡是涉及到紧性这个概念的地方，一般就写得不够通俗，这是一个难以完全避免的现象。

 

    第二个情况是有些事情就是很难讲。例如他在书里面讲到一个问题，我们大家都知道黎曼积分，那么一个函数在什么条件下是黎曼可积的？后来许多人都知道一个结论，就是要几乎处处连续。可是“几乎处处”怎么讲法？过去我们都有一个错误的概念，因为这个概念是勒贝格提出的，就认为非要先讲勒贝格积分不可。但是实际上这个问题完全没有涉及勒贝格积分。勒贝格的思想，基本上就是后来测度理论的起点。在测度理论出现之前、比勒贝格稍早一点，有一个法国数学家约当提出一个概念。我不知道现在中文怎么讲，英文叫做content(也有人译成“容度”)，它跟测度不太一样。辛钦写的时候就把容度和测度混淆起来了。当然这只是我的看法。所以我只能在我的译文中间，加一个脚注。写了一段话，说是原书的陈述不够准确，但是如果要讲的很清楚的话，又需要很大的篇幅，所以没办法仔细讲了。

 

    尽管我接触这本书已经是半个多世纪了，到今年应该是63年了。这本书一直对我有影响，我一直非常喜欢。为什么翻译它？是因为有一个老学生回到武大来进修，我就跟他商量，我说这样吧，如果要写一篇论文，你回去报个成绩，也许将来提升职称等等对你有帮助。但是对你的工作实际上没什么作用，不如我们一起来讨论一个问题：微积分该怎么讲，怎么教微积分。我这里有一本很好的书，恰好他懂俄文，我就让他去翻译这本书，他先译，我再给他改。

 

    这个学生叫王会林，非常遗憾，就是这个书译完了，他去世了，所以他一直到现在也没见到这个译本。当时我们有一个想法，就是学数学最要紧的就是掌握idea的问题。要让学生知道这个idea到底是怎么回事。数学界又有这样一个传统、整个科学界也都是这样，那就是最好的东西，一定要能够用最通俗的办法讲出来。如果你讲不出来，那么原因第一是没有真正搞懂。第二是这个东西还没有发展到能够完全通俗化的程度。所以我觉得辛钦这本书，它在教的方面、作了一个好的开示范。

 

我觉得对于学生也应该让他们知道数学该是怎么学的，学数学不光是做几个习题，或者将来经过一次考试或者得到了什么东西，最要紧的是知道我们的前人是怎么想这个问题的？他们在想这个问题过程中间遇到过什么样的困难，又怎么样来克服这些困难。我就觉得对于一个学生、知道这一点更有价值。当然，话说回来，并不是每一个数学的学生都能够走到这一步，但是我们教学生应该要鼓励学生，走这一步，现在都讲培养学生的创造力，这种说法讲起来也很奇怪：你怎么培养法？这个说法实际是假设我已经有很好的创造力了，我来教他怎么样创造。但是，话说回来了，我如果真有那么大的创造力，那为什么我自己不去创造点新的东西，还要来教书呢？这是说不过去的，创造力只有在创造的过程中自己去锻炼。

 

     所以，作为一个教师，最重要的责任是带领学生跟自己一道来创造。与其说重要是学生要创造性地学，不如说是老师要创造性地教。我接触数学分析这门课程的教学好多年了，但是现在叫我再来教一次，我还得考虑这一次到底该怎么教。每一次的教法应该不相同。这样的话，教对了，教错了，学生都可以得到启发，并且在这个过程中间，自己来学会创造。当然话说回来，有的学生情况不一样，有的人学微积分，目的就是将来他要设计一个什么东西，要计算一个什么东西，那些公式他要会用，达到了这一步，就达到他的要求了。但是也还有的学生，他是要准备直接参于数学的创造的，现在是先看一看数学分析是怎么回事。对这一部分学生的教学就是另一回事了。但是到底是哪一部分学生会走到哪一步，那这学生自己做决定。也许是机会或者叫做缘分。

 

 我觉得现在有一个问题：当教师不要以为自己都懂，可以教学生。很多情况都不是这样。许多事情确实是学生不懂，学生来问你；甚至有些事情是你讲错了，学生提出质疑；所有这些对于教师都有极大的好处。如果现在叫我再读这个书，再重新译这个书，那我还得要去修改，我还得再去考虑，还得要去思考这些问题。这本书的印数现在有1万多册了吧。我接触到一些学生，也很喜欢这本书，它不是什么非常高端的东西，它是非常普通的东西，但是值得学生下功夫，而只有像辛钦这样的大师才能够写出这样的好书出来，这是我想介绍的一本书。那是向谁介绍呢？读者是谁呢？对于想学微积分的人，不管他是数学系的，或者是非数学专业的，都值得读一读。

 

 韩愈的《师说》：“师者，所以传道授业解惑”，是讲的一方面，实际上还有另外一方面。我想给大家讲一下启发式教学。“启发”这个说法是从哪里来的？是孔子讲的，孔子在《论语》中讲过一段话，“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。”这句话在《论语》里很好找，“不愤不启”是什么意思呢？就是如果一个学生想这个问题老想不清楚，他就感觉很痛苦，很纠结了。那么这时候老师就去“点”他一下，这个孔子叫做“启”。“不悱不发”什么意思呢？“悱”就是有话说不出来，他有话要说但说不出来，老师直就去“发”他一下，这样就可以了。后来就变成“启发”。“启发”就是从这里来的。

 

 下面接着还有一句话，孔子接着说，“举一隅不以三隅反，则不复也”。什么意思？就是一间房有四个角，四个角就叫做四个隅。他当老师的只讲一个“隅”，另外三个隅让学生讲，所以老师“举一隅”，学生要回答三个隅。我们平常讲的“举一反三”就是从这个来的，如果学生做不到这一步，“则不复也”，我的体会，不是说老师不要去教他了，而是你老重复那就没意思。应该让学生自己去思考，我觉得辛钦这本书的好处在于它能够帮助你思考，使你愿意思考，

 这是我想向大家推荐的第一本书。