对称

 

 

 

“对称”不仅是平常我们所看到的外表的对称。它不是静止的概念，“变中有不变”才是“对称”的本质。除了我们常见的平面图形的对称以外，如乘法中的交换律、体育中的循环赛制、人际关系中的夫妻关系等中间都蕴含着对称。

 

 

对称与群，这个话题，其实我一直就想写一本小册子，后来是因为李大潜院士要编“数学文化小丛书”，在2006年的前后跟我约，然后我就想我就正好就写这个题目，《对称与群》，写这个《对称与群》这个小册子的想法，应该有下边这样一些想法。

 

一个就是很多人对“对称”这个词，“对称”这个概念是有了解的，甚至于还是有兴趣的，因为小学二年级就在数学的教材里边，就有关于轴对称的一个部分，到后来就更多，到了初中也就更多，所以就造成很多人是知道“对称”。但是他们所知道的“对称”，主要还是平面上的轴对称，就是说图形关于一条直线对折以后，这个直线两边的部分它能够重合，它叫轴对称。但其实对称的含义要远远比它广，这个可以从李政道先生他写过一本《对称与不对称》的一个小册子里面的一个故事来看到。

 

1974年5月30日，毛泽东主席出人意外地约见了诺贝尔物理学奖的得主李政道，他这（书）里边写，“使我吃惊的是，他见到我时想了解的第一件事，竟是物理学中的对称性。”毛主席专门就约见他一个人，“毛泽东认为‘对称’实质上是一个静止的概念。而按照毛泽东的观点，人类社会的整个进化过程是基于‘动力学’变化的，动力学是唯一一个重要的因素，而静力学则不是重要的因素。毛泽东坚持认为，这在自然界也一定是对的。因而他完全不能理解，对称在物理学中为什么会被捧到如此高的地位。”

 

这时候李政道就当着毛泽东的面，给他做了一个小演示，就是毛泽东和李政道，两个人在他的客厅里，而客厅在他们两个人之间有一张小桌子，这个桌子上有一个本子、有铅笔，还有待客的绿茶，他就把一支铅笔，我用钢笔来代替，放在这个本子上，当然他那本子可能比它大，然后这样倾斜这个铅笔，我这个不好滚，我就滚过来滚到这来，然后再一倾斜往这边滚，再一倾斜往这边滚，他做这个，他说这个过程不是静止的过程，但是他就含有对称性，说“对称”绝不是静止的概念。他就很婉转地否定了毛泽东说的 “对称”是静止的概念这个说法。

 

毛泽东很欣赏他这个小的实验，然后他自己又进一步，在那个小册子里就写道，“对称与不对称的问题在自然界、艺术和科学中都占有很重要的地位，在物理学中尤其重要。”所以“对称”是有非常广泛的含义的，也是基于这样一个原因，所以我就想把这样一个意思，写到这个小册子里，这虽然是一个很薄的小册子，但是关于“对称”，关于“群”，都是写得比较深刻的。

 

那么“对称”的本质是什么，我们刚才说到的外形的对称，只是一个方面，还有其他的方面，那像刚才在动态当中的对称，还有像我们学过的三角形面积的计算有一个海伦公式——如果三角形的三条边长分别记为a、b、c，然后把它三条边长加起来除以二，就是（a+b+c）/2 记作p，就是边长和的一半，三角形的面积就等于，S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，这个叫海伦公式。计算三角形面积海伦公式也是具有对称性，√p(p-a)(p-b)(p-c)，所以“对称”不仅是我们平常大家所看到的外表的对称。

 

像这本这个小册子，你从这里划一条线一对折它能折上，不仅是这样的，还有这么广泛的这个含义。那这么广泛的含义它的本质是什么，那我在这个小册子里就提出来一个短语，叫“变中有不变”作为这个“对称”的本质。为什么用“变中有不变”呢，首先它很短很好记，其次它也是大数学家外尔曾经提出的一段比较长的话的精炼，再其次它确实刻画了刚才我们说到的“对称”的那么多个不同的方面的本质。

 

比方说刚才我们说到一般的“对称”，这像一本书，它关于这条直线的对称，就是刚才说是把它折过去，这边和这边能够完全重合，那这里要有个对称图形也是一样的，这个图形也是完全重合。但是现在我用这个“变中有不变”的观点，是这样看的，这个图形所在的平面，如果关于这条直线作一个反射，这样的话这个平面上的所有点，都有点变化,这边点都变成这边来了，这边点变成这边来了，只有这条直线上的点不变，那么在这个变化当中有一个东西不变，就是这个上面的图形整体没有变，因为比方这里有一个等腰三角形，就是关于它轴对称，当这个点变到这了，这个点变到这了，这个点变到这了，这点都在这变，但是图形整体没变，这就是“变中有不变”。

 

像刚才说到的，三角形面积计算的海伦公式，S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，这时候什么叫“变中有不变”呢，就是我把这个三角形三条边a、b、c，把它换一个表示，a换成b，b换成c，c换成a，就是abc三个换了。那abc这三个换了以后，a换成b了，p-a就变成p-b了，那p-b，因为b换成c了，就变成p-c了，那p-c，c换成a了，就变成p-a了。虽然每一小部分都变了，但是合在一块，根号下p（p-a）（p-b）（p-c），还是没变，这是因为乘法有交换性，把它的顺序又给换回来了，所以它也体现了“变中有不变”。

 

所以“变中有不变”这个短语，就很好地刻画了“对称”的本质，而且它还不是一般我们大家所仅仅看到的图形的对称，像刚才我说的数学公式里的对称性，还有其它更多的对称性，都是符合这样一个短语，“变中有不变”。

 

所以这一件事情，我就希望在这个小书里把它说清楚，而且我说的这个对称还更多，比如夫妻关系，夫妻、父女关系，他们都是一个男的和一个女的关系，但是夫妻的关系跟父女关系来比，夫妻关系的对称性就强，这也跟变中有不变有关系。这个变是什么变呢，把两个人互换，当把两个人互换的时候，夫妻就变成妻夫了，但是他们仍然“互为”配偶，不变，变化下它不变，配偶这个关系不变，但是父女关系，当两个人互换的时候，变成女父了，这个连辈分都变了，所以这个对称性就不如那个强。

 

还有像我们体育比赛，里边有一种赛制叫“循环赛制”，有一种赛制叫淘汰赛制，像世界杯足球赛，前一阶段是分小组，每个小组里边是循环赛制，后一阶段是淘汰赛制，那循环赛制的时候，每个队和其余的所有队都得比赛，淘汰赛制是两个两个比，它分区，划分区然后搭配好了以后比，只要输一场就完了以后就没有他了，两个两个比最后的得到冠军，循环赛制的“对称性”就比淘汰赛制的对称性强。为什么，也是从刚才我说的这个，“变中有不变”来考虑。

 

这个循环赛制怎么叫“变中有不变”呢，我把比赛的时间地点场次我都可以改变，但是在循环赛制下，仍然是每个队和其余的所有队，都得比赛这个小组里边都得比赛，这点是不变的。但是淘汰赛制，如果你把它重新打乱了重新编的话，那么可能你去比赛的对手就全变了，而且闹不好你头一轮就碰上你的克星，要是足球比赛的话头一场就，因为足球还是有克星的这种说法，所以循环赛制就比淘汰赛制它的对称性强，这都是跟“变中有不变”这个本质相联系的。

 

足球它是一个空间的一个立体的，怎么来表述呢，它是由二十块白色的正六边形，和十二块黑色的正五边形构成的，就是标准的足球，当然现在还有比较花的足球，但是它都是还这样来弄的。然后你让这个足球转一下，围着它这个中心转一下，让一块黑的转到另外一块黑的地方，让白的转到另外一块白的，这时候足球上的所有点，表面，足球表面上所有的点都变了，只有中心那个点没变，但是足球整体仍然没变。你像一个人从外面进来，在之前看一下进来看一下，那看是一样的，但其实你已经动了，这是在变化当中变化里面他不变，所以这个足球的这个，也可以用“变中有不变”这个短语来表示。

 

所以“变中有不变”它是描述对称本质，我很欣赏这个短语，所以我想这个小册子里，要把这个观点表述出来，刚才时间关系我没有举很多的例子，但是这些例子我想你多少可能看到“对称”，也可以反过来从“不对称”的角度来体会对称。我们现在有的时候会说到银行跟它的储户信息不对称，会说到医疗机构和患者的权利不对称，也会说到战争里边，有些媒体说到“非对称战争”。

 

什么是“非对称式战争”呢，一般打仗交战双方的国力和军力，应该是差不多的，但是美国打伊拉克，这个国力和军力就差得很远，所以媒体就会把美国打伊拉克说成是“非对称战争”。所以“对称”虽然是很广泛的，但是我们刚才说到“对称”也好，或者反过来说从不对称来去看对称也好，它的本质都是“变中有不变”。

 

还有一个游戏也可以看到里边的对称性，这个游戏是什么呢？游戏是一个长方形的桌子，或者正方形的桌子也行，就说长方形的桌子吧，长方形的桌子，然后拿一块钱的硬币往这个桌子上放，甲乙两个人放，要求这个硬币不能重叠，必须分开来，规则是这个桌子是有限的，总有一个时候，这个硬币放在这个桌上放不住了，它会掉到地下去，当它的一多半在桌面外面的时候，它会掉的。一多半在里面，一小半在外面的时候，谁第一个把硬币放不到桌上，掉到地下去了谁就算输了。

 

这样一个游戏如果懂得“对称”的人就能赢，如果他第一个放的话，他不懂“对称”他即使第一个放，他可能还赢不了。懂得“对称”的人怎么放就能赢呢？就是第一次放在这个长方形桌子的中央，两条对角线交叉点放第一块硬币，为什么他能赢呢？因为对方无论把他的硬币放在哪儿，这个人第一个放硬币的这叫甲吧，甲第一个放硬币，乙无论放在哪甲都把自己的硬币放在乙放的硬币的跟中心对称点，因为他放硬币的时候，那个对称点肯定是空的。

 

然后甲就放在这个对称点上，乙再放一个地点，那那个对称点还是空的他就放那，因为他不可能在你放过的地方放，那刚才放过了你再放就重叠了，人家不让重叠嘛，所以只要乙有地方放甲就一定有地方放。最后会放不下，但一定是乙放不下，因为刚才我们已经证明了，只要乙有地方放，他的对称点就是空的，甲就有地方放。所以这样一个小游戏也说明，你要知道“对称”的话，就像这样一个小游戏也能考验你，对对称本质的了解你就能赢。