群是大自然的语言

 

 

 

“对称”不但美的，而且是有实际作用的。第一个重大的应用就是晶体结构的研究，比如“对称”对发现著名的碳60足球烯结构的贡献；第二个方面是方程根式解这个问题的解决，如伽罗瓦对五次方程根式解的证明；第三是用变换群下的不变量的观点对几何学的统一；第四个是用群来研究物理学中的守恒定律；第五就是群在研究“面饰”、“带饰”等循环装饰图案的数学规律当中的应用。

 

 

上个世纪七八十年代，有一批英国和美国的科学家，还不是化学家，当然最终他们得了诺贝尔化学奖。所以你看那诺贝尔奖，有的时候还是偶然的，得诺贝尔化学奖他不是化学家得的。这是美国和英国的一些科学家，在用高能脉冲去轰击碳，轰击碳的时候发现一个特殊的现象。这特殊现象是什么呢，就是如果我们把这个碳轰击以后的情况描述一下会发现：60个碳原子构成的碳分子数量很大，轰击以后这个碳里边它可能有12个碳原子构成的，有14个碳原子构成的等等有好多。

 

但是60个碳原子构成碳分子的数量非常多，这表明60个碳原子构成碳分子，是相当稳定的。据说当时地球上还没有发现过天然的60的碳原子构成碳分子，从宇宙射线里，宇宙里边是有过。这样一来这些科学家就非常感兴趣了，为什么60个碳原子构成的碳分子，会如此之稳定，这60个碳原子是怎么构成碳分子。他们采用一种非常初等的方法去探讨碳60的结构。这初等的方法是什么呢？拿着硬纸板去剪，他们觉得正六边形是比较稳定的，当时就是这样看法，就把正六边形剪成一个正六边形，然后正六边形的六个顶点就当做是六个碳原子。

 

然后用胶水把这样的正六边形往一块粘，就希望粘成一个结构，正好有60个碳原子然后构成一个结构，最后粘了好多次，拿到小组会上去讨论以后，大家都一一否定，觉得不可能是这样的。这过了两年多时间了，就是占了很长时间大家一块讨论，后来有一位小组的成员受到一位建筑学家叫做富勒他的一个建筑作品的一个启发。这个富勒他有一种建筑作品，薄壳结构，你们搞力学的知道薄壳结构。

 

它这个薄壳结构就是很薄，但是它的力学性能很好，里边有大量的正六边形构成这个薄壳结构，但是也有一些正五边形。他受了这个启发以后他说，我们别光拿正六边形来粘，我们也拿点正五边形，边长跟正六边形一样的正五边形也剪，剪成硬纸板一块粘。这样又过了半年多，结果有一个科学家，就是他这里边的科学家粘出一个模型来，这回这个模型再拿到小组会上讨论，他们觉得一定是碳60的真实的结构了。

 

为什么？因为这个模型是如此地对称，是如此地美。他们一想这么样对称这么美的图形，数学家一定知道，他们就打电话去咨询他们认识的数学家，而电话那头的数学家呢，在认真仔细地听了他们的描述以后，回答他们说我们确实知道你们粘出来的这个结构，但是你们自己其实也应该知道，因为你们实际上是粘出了一个足球。

 

当时足球就是由二十块白色的正六边形，和十二块黑色的正五边形构成的，如果我把这些正多边形的顶点，每个顶点看成是一个碳原子的话，恰巧就是60个顶点，所以你要是花了三年时间，粘出这么一个模型来，恰巧是60个顶点，是不是也会相信，自己粘的是正确的碳60的模型。所以当这些数学家跟他说，你们粘出来就是一个足球的时候，他恍然大悟，真的我们这花这么多时间，我们实际上粘出来一个足球，马上到商店去买了一个足球回来。

 

他们当场在场的几位科学家都在这个抱着足球照了一张相片，这个相片后来成为有历史意义的一张相片。为什么？就是因为这些科学家，不但发现了碳60的分子结构，而且他们还在这个碳60的中心镶进去其他一些金属的离子产生了一簇化合物，而且很有用，有的在导电性上有用，量子尺寸上，纳米尺寸上有用。这样因为这些东西有用，他们这带头的三位就获得了诺贝尔化学奖，他们本来不是化学家而获得诺贝尔化学奖。

 

为了纪念当初给他们启发的那位建筑学家富勒，他们把刚才他们粘出来的这个60个碳原子构成的结构碳60的结构命名为富勒烯，现在我们通俗地把它叫足球烯，“烯”是化学上的一个词，富勒就是为了纪念这位给他们启发的那个建筑学家。这个故事挺有意思，就看到科学家在科研里边探讨的，曲折、艰辛和他们的智慧，同时也看到了“对称”在里面起的作用。

 

所以“对称”不但美的，“对称”还是有用的。“群”有用，而且“群”有重大的应用。刚才我说客观世界里面有很多满足这样四点的四个规律的，它有很重大的运用，一个重大的应用就是晶体结构的发现。晶体结构在十七世纪、十八世纪就已经被发现，但是当时就有许多的专家，在发表论文和会上讨论，到底有多少种晶体结构，讨论这件事，晶体学家、物理学家和化学家都在讨论。但是这种讨论往往是争论不清楚的，后来是数学家介入，数学家和这些晶体学家、物理学家一块研究用“群”的理论。

 

因为发现这些晶体结构都是一个“群”，每一种晶体结构是一种“群”，于是用“群”的理论证明了最多只能有230种这样的结构，这种论文发表以后就不再有人发表论文了，大家通认为这个表述是如此地清楚，如此地让人信服，这就是“群”的一个大的应用，晶体结构最多只有230种结构。

 

第二个重大的应用就是五次方程根式解这个问题的解决。在十六世纪的时候，人们就已经知道了三次方程的根式解，当然二次方程根式解更早了，那是两三千以前巴比伦时代，就知道的二次方程，就是x=[-b±(b^2-4ac)^0.5]/(2a)，这是根式。所谓根式解，就是用方程的系数的有限次加减乘除运算和开方运算来表达方程的根，我们把它叫方程的根式解。

 

到十六世纪时候就发现了三次方程的求根公式，继而又发现了四次方程的求根公式，人们就去探索五次方程有没有根式解，能不能找到求根公式，那找到求根公式很好，拿系数往里一带就把根算出来了，但是找不到。过了三百年，从十六世纪过了三百年到十九世纪一直找不到，很多很有名的数学家，去做这个研究都找不到，最后是伽罗瓦。伽罗瓦证明了五次方程，如果系数是用字母表示的，这种系数是不存在根式解的，他从另外一个方面去得到，而这个结论得到就是依靠“群”。

 

他是反过来考虑问题的，他不再从系数出发，过去的数学家之所以得不到结论，老从系数出发，想从系数的有限次加减乘除运算和开方运算去得到这个求根公式。他从方程的根出发，他发现这是个集合，而这个根可以做运算，他做了他的置换，这里我们不细说了。然后发现这种运算有规律，就是我们刚才说的四个规律，于是这个多项式方程的根的集合是构成“群”的。从这个角度他最后解决这个问题的结论是文字系数的五次及五次以上的方程不存在求根公式。这个就是非常之了不起了，这是群的第二个重大的应用。

 

第三个重大的应用是关于几何学。从欧几里得那时候就有几何学，后来发展到十八世纪十九世纪以后就又有什么射影几何学、仿射几何学等等。在1872年的时候，一个23岁的德国数学家叫克莱恩，他在埃尔兰根大学就职演讲，后来很有名，这个就职演讲最后被大家称为“埃尔兰根纲领”。他这个演讲就提出了“变换群”下的不变量的观点来看待各种几何学。他欧几里得的几何学讨论是刚体运动下不变的图形的性质。

 

刚体运动，刚才我们说了保距变换，其实就是一种刚体运动，刚体运动下图形不变，这些性质去讨论的时候，这是一种几何学，这是欧几里得几何学。现在我们又出现的什么仿射几何学，那是让人仿射变换下不变的图形性质，那个不一样了，它可以有伸缩了。还有射影变换下不变的，结果发现刚才我们说的保距变换下的刚体运动，刚体运动变换下是个“群”，射影几何是射影变换下，是射影变换群下面的，那个仿射变换群。

 

于是全用这个变换群下的不变量的观点来看待几何学，这个分类观点非常之高，都是在不同的变换群下的不变量，我们讨论这种变换群下的不变量，这样的图形不变的性质，这是同一种几何学，这又是同一种几何学，这也是同一种，统一的观点去看几何学，这是这个“群”的第三个应用。

 

群的第四个应用就是在物理学里边的守恒定律了。物理学里边有很多很多的守恒定律，德国有个女数学家叫艾米·诺特，她就指出了每一种守恒本质上都分别是某种“对称”，或者说反过来说每一种“对称”本质上也分别对应着某种守恒。现在我们知道“对称即群”，所以就可以说“群”在“物理学的守恒定律”当中地位是特殊的，是有本质的作用的。

 

为什么？因为“守恒”通常是指在外部环境的变化下，某种事物或者事物的某种性质不变化，这就叫守恒，保守，保“守”着原来的这种恒定的状态叫守恒。而这个用我们刚才的精炼的语言叙述，就是“变中有不变”，守恒就是“变中有不变”，所以“群”、“对称”这些用来描述守恒恰恰是非常好的。所以“群”在物理学守恒定律当中，有非常重大的应用，这是第四个。

 

第五就是群在“面饰”、“带饰”当中，我这个小册子里也算是一种应用。先说“带饰”吧，带饰就是平移对称的图形，在平移变换下它不变。比如想象一个腰带，腰带上有一些图案，当然这个腰带是无限长了，这个腰带往那边动的时候，正好比如图形都是这样的，像这样一个弯，也好看了，正好移这么多，这个弯移到这来了，这边这个弯移到这来了。

 

但是这个无限长的腰带，你从整体上看它没动，当它移动但它没动，所以它这种叫做“带饰”，它可以作为腰带的装饰这种图形。用群的观点来研究以后发现这种“带饰”一共只有七种，现在我在图形上画，我这画得比较数学化一点，是这样七种一共只有这七种，画成好看一点的是这样，这样七种一二三四五六七。这七种带子在平移下不变，而且只有这七种，这个了不起，有这七种找这七种好像，反过来还证明只有这七种。

 

“面饰”就是一个平面的图形，平面图形它动就不能光是，在一个方向动了，它可以往好多方向动了，无穷个方向都可以在平面上动，结果发现有十七种，这也了不起，你找到这样十七种是一方面，但是证明只有这十七种。这是画的漂亮一点的十七种，这是数学化的，看出它的本质的十七种。