《复分析可视化方法》

   在《复分析可视化方法》一书中，作者尼达姆认为复分析中间最重要的是黎曼的思想。 黎曼思想的特点是他认为数学或物理学应该是统一的，他更注意从几何角度、从物理角度来讲数学。总的来说，复分析的发展就是走了一条几何和物理的道路

   复分析有两种讲法。一种讲法就是按照我们现在通用的教材来讲。按通用的教材来讲，可以讲的非常清楚。学生一看就懂了。这种讲法里的定义都很严格，概念都很清楚，但是它里头缺少思想。本书的作者尼达姆真正认为复分析中间最重要的是黎曼的思想。 黎曼思想的特点是什么？黎曼当然在数学上有非常大的贡献，但整个讲起来，他认为数学或物理学应该是统一的，他更注意从几何角度、从物理角度来讲数学。

我翻译了这本书之后，我写了一个很长的译后记，所以今天还要从这个译后记谈起。我在翻译的过程中又学到了新的东西，比方说，我们过去念过的关于复分析的书写的都很好，有外国人写的，也有中国人写的，但是它都违背了整个数学发展中间几个非常重要的问题。比方讲，什么是复数？一直到现在，包括我们中学的教学都有这么一个问题。老师讲i就是虚数。虚数的特点就是虚，虚数就是虚无缥渺的一个东西。这个思想跟高斯的思想完全不一样。高斯的所有著作中间，他只讲复数。为什么叫复数呢？他说实数只是一个数轴，在一个方向上。但是为什么只考虑一个方向呢？能不能考虑两个方向甚至更多的方向呢？两个方向一个是实的，一个是虚的，就是我们讲的实部、虚部，高斯就认为这两个东西是平等的。既然考虑到了有两个方向，当然要考虑三个方向、四个方向，或者更多的方向。高斯当时还没有思考到这个地步。如果他接着往下思考就应该思考到我们今天所讲的线性空间，就是n维的空间，但是高斯当时还只考虑到两维的空间。从这个思考中，高斯就提出来复数应该看成一个二维的平面到另外一个二维的平面中间的一个映射，一个transformation。这是完全从几何方面来讲。

最早的复数16世纪就出现了。当时一个意大利人卡尔达诺提出i，认为i等于根号下-1。他认为这个东西纯粹只有形式的意义，没有实质的意义，所以他把它叫做虚数。但是后来别人不同意虚数的说法。他们认为既然是虚的,用法文讲是imaginary ，跟几何图形image非常相近，所以不如说它是几何上的数。高斯的想法也是从这里来。

但是又有一个问题，当所有的实数变成一个无穷直线，这个无穷直线没有办法，就拉过来结成一个圆。那么所有的复数就变成什么呢？比如说变成一个单位圆，那么就有个问题了，这个单位圆的几何学跟这个直线上的几何学的区别到底在哪里？高斯从这个问题开始就感觉到启发，实际上这种思考就是非欧几何的开始。

所以我们现在对学生一定要讲非欧几何，但是老师往往都是把讲非欧几何当成讲个小故事。如罗巴切夫斯基怎么样发现非欧几何？但是高斯的想法就是一个无限的平面跟一个单位圆的几何性质应该不同。如果在整个无限平面上我们用的是欧氏几何，那么到整个平面上我们用什么来表示它？从这个角度来提出非欧几何的问题。这样一来整个非欧几何在数学中的地位就改变了。

从我们过去对学生的讲法，就是给学生讲一个故事，经过一个点对另外一个直线能够做几个平行线？我也遇到一位老师，他说这是一桩延续几百年的公案。但是实际上在高斯看来，这不是一桩公案的问题，而是开辟了一条新的道路。如果再从平面上讲，那么就有平面上的一套几何学。球面上怎么样？球面上也有一套几何学。这些东西都是非欧几何。所以他就从这个角度来讲非欧几何。从这个角度来讲非欧几何有很多不好讲的事情，比如说什么叫平行性？平行就是不相交，或者我们的说法就是在无穷远处相交。但是如果在一个圆里面，我作一条直径，再作另外一条直径，这两个直径都是跟这个单位圆的圆周相交。如果认为单位圆圆周是一个无穷圆点，那么有两条直线，经过一点做出的两条线，这两条线都相交在无穷远处，这不就应该说是两条平行线吗？所以这样一来的话，非欧几何的意义、性质都改变了。

为什么我要讲这个问题？因为我觉得如果一名学生进了数学系，到数学系毕业的时候还认为非欧几何就只是探索经过一点可以对另外一条直线做几条平行线这个问题的话，那么用通俗的话讲，这就有点太OUT了，差太远了。

这样一来就不如把整个几何的方法和处理的问题都改变一下。我们国内有一个老师李忠，他曾经写过一本《并不神秘的非欧几何》，这本书写得非常之好。他基本就是按照虚数不虚，复数是实实在在的这个思想来写。这本书表现的是一种更复杂的几何学。我觉得这是这本书的一个特点。另外一个特点是流形，微分流形的流形。流形这个概念也是从黎曼开始的。最简单的流形就是一条一维的曲线。但是一条曲线就有一个问题，一条曲线包围了一个点，到底这个点在曲线内还在曲线外？哪个算内，哪个算外？这个点绕这个曲线多少圈？过去我们讲复分析都一定要讲柯西积分，柯西积分的路径绕来绕去。如果绕圆一个点，那么积分就等于被积函数Z-Z0分之一，前面有一个常数因子，2πi。如果只绕一圈的话，恰好等于1。如果这个点在外面的话，Z0在外面的话，那就等于0。但是如果这个曲线变形了，让它绕来绕去绕圈圈，那么这个东西到底等于多少？像这样一个问题是拓扑学中间必须要考虑的，在拓扑学中间叫做环绕数，英文叫Winding Number。环绕数这个概念在现代数学中间又是一个非常重要的概念。但是我感觉很遗憾，我们数学系的大学生一直到毕业恐怕都没有见到过这个东西，可能如果他念研究生的时候学一门拓扑学，他会知道有Winding Number，那如果他不学拓扑学，他就没有想到在复分析中间，他已经见到了Winding Number。这是一维的情况。

如果是二维的话就比较麻烦了。二维的曲面数学名字叫做紧致曲面，就是有界的但是没有边缘的曲面。像手肘就是一个二维曲面，但是它跟球不一样。如果手肘里面有一个洞该怎么办？如果有两个洞该怎么办？有若干洞该怎么办？这些二维的东西怎么样进行分类？黎曼认为这是非常重要的问题，而且后来从这里提出了一个新的名词叫做analysis situs，analysis是分析，situs是位置。所以拓扑学最早的名字叫位相分析，但是位相分析也从复分析中间来。

这样一来的话，讲复分析这门课程我们该往哪个方向走？一个方向是按我们现在的教本一五一十的教下去。这种情况下学生可以学得很好，如果考试也可以考到一个很好的成绩，如果要考研究生，保送研究生都可以。但是数学上最宝贵的东西他没见到，这是好还是不好呢？但是当时黎曼就看到了这个问题。后来一个人叫克莱因，克莱因曾经写过一本书，这本书的名字我忘记了，书的内容就用流体来讲电磁学，认为电流就是一种流体。流体绕着一个东西转，中间流体就有许多改变。他的许多讲法很奇怪。用流体解决了电流问题，磁应该怎么办？当时克莱因的书里面画了一些图，在《复分析可视化方法》中间也有许多这样的图。一直到现在我才发现这个图真正讲的是麦克斯韦的思想。所以这样一来的话复分析的发展就可说是走了一条几何和物理的道路。