《普林斯顿数学指南》

 

 

 

若要人的思想习惯要能够符合时代的要求，对数学作一些普及是不可少的，同理可及物理、生物等。无需太多花费，但需要鼓励一些人。如果他能够做这个事情，做得好，大家支持他；做得不好，大家谅解他。让人们，特别是让现在的年轻人知道，数学这个东西是非常值得注意的。

 

 

第三本是一部大书，叫作《普林斯顿数学指南》(科学出版社2014年出版)共三卷。这本书跟刚才两个书不一样，它是为有志于数学的读者写的，是为那些大体上具有研究生水平的读者、至少是想要懂得数学的某一个分支的新进展的读者编写的。它是真正为数学家写的。当时是谁第一个想出了这个主意现在也无从详细考证，看看这本书的前言也许会看出来。这个出主意的人找到一个数学家叫高尔斯，是菲尔兹奖得者，在组合学方面有重大的成就，以他的声望，邀请了一大批，可以说是第一流的数学家吧，就各人熟悉的数学分支，各写一篇东西。

 

编这本书的基本的目的是什么？如果你是一个想学一点数学的青年人，数学中间这个分支那个分支，东西非常之多，那么一个青年人选择哪一个分支，他怎么去选择法，这就需要有一些人来帮助，这些人不妨叫做你的智囊。于是高尔斯就邀请了一批人，这批人中间当然大都是第一流的数学家，以他们的身份为一个青年人，准备进入我这个领域的青年人写一个东西。是否一定就能帮助青年人登堂入室也谈不上，但是这个房子在哪里，哪条街，几号，几楼，你到哪里去，你怎么进去，进去你找谁？这里面有什么值得注意的东西？这确实是能做到的事。

 

就好比说是你到故宫去，故宫太大了，那么我告诉你，今天我让你看看什么东西。看画？你想看哪些画？另外一个人想看瓷器，那么我带他去看瓷器。你要看画，我也不能把故宫的画都拿出来，但可以告诉你有一些什么画是值得注意的。这本书就是达到这样一个目的。告诉你这个房子在哪里，至于能不能登堂入室，那是你自己的事，也看你的机缘如何，看机会。从这一点来讲，应该说编这部书是发了一个宏愿，做了一件大事。

 

正因为是这样，它所涉及的面就有很多其它的问题、而且是数学里很深的问题。所以我们只能选择一个不需要太多数学知识的来介绍。比方说我们很多人喜欢音乐，我曾经听过一个音乐教授说，他说音乐是一种逻辑性非常强的艺术形式。当然我也可以反过来讲，数学是一个最值得我们审美，最有审美价值的科学，这两个说法都对。数学跟音乐到底什么关系呢？

 

从毕达哥拉斯就开始注意这个问题。现在我们的1，2，3，4，5，6，7，高音1（这里数字表示简谱的音符）构成一个八度。再加上半音共有12个音符。希腊的毕达哥拉斯造出了一个音阶系统。令人吃惊的是，中国春秋时代也有一个管仲也构造出了同样的音阶系统。他的方法（或者叫乐律）称为“三分损益法”跟毕达哥拉斯的方法（或者叫乐律）即五度相生法、马虎一点说，请你原谅我说得不准确，从数学上来看，是一个东西。

 

那么到后来，从八度再加上半音变成十二度的音阶，这个十二度怎么回事呢？从音乐上讲起来非常简单，1和高音1相差个八度，频率增加了一倍，把这个频率按等比数列来均分，分成十二份，每一份叫作一个半音，十二个半音，1到2是一个全音，2到3也是一个全音，3到4则是一个半音。这样下去得到十二个半音，组成一个八度。那么这些全音和半音的频率怎么来确定？这件事情现在看起来，好像非常简单，但是你也想想，如果我在调钢琴，一个钢琴应该各种各样调性（C调、D调等等）的乐曲都能够演奏，但是C调跟D调中的1到2的频率比却是不相同的，那么钢琴怎么办？演奏一个曲子就要调一次钢琴，那怎么行。唯一的办法是把乐律改过来。

 

奇怪的是不论在欧洲、还是在中国。又都采用了同样的乐律，即十二平均律。在欧洲来，最大的成就应该归功于巴赫；在中国明朝有一个朱载�，同样搞出了十二平均律，搞的办法也是一样，我们现在懂一点微积分，就非常容易了，取对数嘛，取1/12log2问题就解决了。但是，不论是巴赫、还是朱载�，当时都不懂对数。例如朱载�，是用算盘算出来的。我有一个朋友，复旦大学的李大潜、就告诉我，他曾经到朱载�的家乡去，他的家乡有个博物馆，其中就有朱载�当时用的算盘的模型，有48档之大。但是，朱载�的计算方法跟我们现在讲的有原则的区别：区别在什么地方呢？我们都知道对数是一个无穷级数，一定要用无穷多项才能算出来，但是朱载�不懂得这一点。在这个重大问题上搞错了。这是一个时代的错误。[1]康熙皇帝在这一点也搞错了，他怎么样样也跟不上牛顿的步伐。

牛顿写研究微积分的时候，遇到的最大困难就是想解决这个无穷小的问题。也就是脚注里说的ζ究竟是不是零、以及如何处理它的问题。在牛顿的时代之前，已经有了无穷小的概念，但是还很模糊。牛顿处理的方法也很干脆。那就是：无穷小虽然不是零，但是有的时候可以丢掉。什么时候可以丢？用我们现在的语言讲，就是见到了高阶无穷小就把它丢掉。当时一个哲学家贝克莱就说，牛顿先生，你认为自己最严格，它虽然是一个无穷小，它非常小，但它不是零，你怎么能丢掉它呢？这是场非常有名的争论。是当时许多数学家都为此耗尽“洪荒之力”也无法解决的问题。[2]

 

这本书的好处在于，它谈到了许多问题。除了音乐之外，也谈到了经济学，也谈到了统计，谈到了管理等等。我选择了音乐是因为它需要的数学准备比较少。尽管作者做了一些努力、写了几个脚注，仍然担心读者会遇到困难，还需要自己再去找一些书去读。这个该也是写通俗数学书总会遇到的困难。

 

问题是现在三大本怎么读法？至少它的第一卷的Ⅰ，Ⅱ两个部分（大约二百来页），是引论的部分，建议你读一下。你得知道你是在教数学，数学究竟是什么东西，数学的历史是怎么回事，什么叫证明、什么是严格性；进一步还有什么是非欧几何，什么是关于数学基础的争论。这一切对你的教学有极大的好处。我之所以要介绍这本书给读者，也只是告诉读者，如果你对数学有兴趣的话，你可以在这里找到你所要的东西。当然话要说回来，不知道这些东西天也塌不下来。说到底还是一个怎样对待生活的问题。

 

但是在这里我就应该要作个检讨了。我为什么要去翻译这本书，这是一个出版社向我建议的。我说这个工程太大，我一个人怎么搞得了呢？他就跟他的出版社讲，请他们告诉我，你先不要拒绝这件事情，你先看看这个书，看看这个书你就会放不下来。但是以一个人的力量去翻译这么大一个书，为什么我敢干这个事呢？按照现在通行的做法，一个大的工程那就一定要组织很多人来干 ，那么，谁来组织呢？

 

写这个书的人，就是高尔斯，以他的声望，他能够邀请一大批人，在中国谁能够做这个事吗？谁能够邀请一大批每一个行业的专家，请他们来翻译？如果要干这件事情的话，那么主持这件事情的人，主要的精力就会放到协调人与人的关系上：你是这个组长，我是那个组长，最后只好妥协下来，妥协下来之后怎么办呢？现在是我自己搞了，当然现在有些事情我可比较有把握。实在搞不准的地方，我可以找一些更懂这个问题的朋友，听听他们的意见。我自己搞必然有错，但是有一个好处，别人知道是你错了，该你负责。既然有错，当然也有不错的地方，错的地方你把它指出来了，我很高兴。那么不错的地方呢？那就算是这个书的作者送你一个礼物，让你可以看看这些东西。

 

搞了一年多的时候，我中间好几次都想放下来，干不下去，有一个朋友听说了，说你既然已经干了就干到底。后来出版社他也没办法支持了，因为这个书的份量太大，出版社一定要考虑经济问题，所以也不能怪人家。

 

 我们国家要现代化，什么叫现代化？一个关键是人的思维，人的思想习惯要能够适合时代的要求，从这点来讲，对数学作一些普及是不可少的，物理生物学等等的普及也是不可少的，在这种问题上不需要花太多的钱，但需要鼓励一些人，他能够做这个事情，做得好，大家支持他，做得不好，大家谅解他。让人们，特别是让现在的年轻人知道数学这个东西是非常值得注意的。