爱因斯坦与场方程

 

 

爱因斯坦认为，物质的存在造成时空弯曲，所以物质告诉时空如何弯曲。他的方程有两个，第一个方程就是场方程。第二个方程就是测地线方程。这两个方程，场方程是物质存在，物质告诉时空如何弯曲；测地线方程是说明时空告诉物质如何运动。

 

 

 

今天我们再介绍另外几本书，一本叫做《看不见的星》，还有一本叫做《弯曲时空中的黑洞》。这两个都是以讲黑洞为主，同时讲一些时间性质方面的东西。《看不见的星》完全是一本科普书，一般有高中文化水平的人就可以看。

 

《弯曲时空中的黑洞》是一本高级科普，它讲得可能多一些。一般大学理工科的学生可以看懂，它里头有一些式子。因为有一些东西，你有式子讲，比没有式子讲，反而可能会更清楚一些。

 

今天我们先讲爱因斯坦场方程。因为我们讲黑洞讲什么的，或者讲宇宙，利用的都是爱因斯坦的广义相对论。广义相对论的核心方程叫做场方程，又叫爱因斯坦方程。在我们的书里头，我都谈到了这些方程。

 

比如说在《看不见的星》里头，我们也谈到了它是怎么回事呢？根据爱因斯坦的广义相对论。万有引力跟一般的力不一样，它实际上是一种几何效应，是时空弯曲的效应。比如说我们看到的这张图里头，有一个发光的地方，这是示意图。这是一个示意图。

 

即当有一颗恒星存在的时候，比如有个太阳存在的时候，周围的时空弯曲了。就是这样的。那么爱因斯坦认为，物质的存在造成时空弯曲，所以物质告诉时空如何弯曲。他的方程有两个，一个就是场方程。就是物质告诉时空如何弯曲。

 

这个方程的左边是几何项，它是表示时空的曲率的，右边是表示物质的存在的，这个θ是一个物理常数，它实际上主要是万有引力常数，，所以θ没有什么更特别的东西，它是由光速C和万有引力常数G组成的一个常数。

 

它的右边就是物质的能量动量存在，左边就是时空的曲率。这就是物质告诉时空，你只要给出了右边的这个物质，然后你就可以算出左边的时空曲率了。另外一个方程，爱因斯坦认为在一个弯曲的时空当中，一个质点该怎么运动呢？那么这个质点的运动，将受弯曲时空的支配。

 

要在平直时空当中，这个质点如果不受到其他力的话，它就保持静止或者匀速直线运动。那么就是惯性运动。在弯曲时空当中它也做惯性运动。但这个惯性运动因为时空弯了，所以它就要走一条曲线，这个曲线就叫做测地线。

 

第二个方程就是测地线方程，测地线方程是说时空弯曲如何影响物质的运动。所以这两个方程，场方程是物质存在，物质告诉时空如何弯曲。测地线方程是说明时空告诉物质如何运动。到了一九三几年的时候，爱因斯坦和苏联的一个物理学家福克，各自独立地证明从场方程可以把运动方程推出来。这样的话基本方程就是一个了，就是爱因斯坦场方程。

 

其实爱因斯坦在研究广义相对论的时候，他先得到的是这个测地线方程。这个运动方程得出来以后，没什么新鲜的，因为正好跟几何学上的数学家们所得到的测地线方程是一致的。所谓测地线用个通俗的话来说，就是弯曲时空当中两点之间的最短线或者是最长线，就是取极值的那根线。也就是我们平直时空当中直线的推广。

 

所以这个方程得出来以后，没有什么太新鲜的。那么后来呢，关键的是他后来得到场方程。这个场方程很难求。现在有很多科学室的专家对爱因斯坦他们推这个场方程，曾经有过一些研究。因为爱因斯坦在他有了时空弯曲这个思想以后，寻找这个方程是花了很多时间的。

 

他后来在1914年左右达到了。在1914年，1915年的时候，到了德国跟数学家希尔伯特合作。经过几次讨论以后，很快得到了这个方程。但是两个人后来还有点儿竞争。希尔伯特希望自己能够尽快地把这个方程搞出来。爱因斯坦也希望。

 

爱因斯坦一看到希尔伯特在那儿找方程，他就有点急。他也想赶紧把这个方程推出来。最后爱因斯坦是比希尔伯特早一点。我这个书里头详细讲了他这个情况。这个还是很有意思的。

 

从这里我们可以看出来，广义相对论的方程是爱因斯坦先提出来的。广义相对论的基本理论也是爱因斯坦的。但是希尔伯特的帮助，恐怕也是不可或缺的。如果没有跟希尔伯特的讨论，他能否在1915年得到这个方程，我觉得还是值得怀疑的。

 

因为从今天来说我们看这个方程的时候，它因为能量守恒，动量守恒，它的曲率的那一边必须满足一个也是守恒的，跟它对应的一个东西。所以它满足毕安基恒等式。毕安基恒等式在当时已经出来了，但是不仅爱因斯坦不知道，希尔伯特也不知道。

 

而且毕安基恒等式的一般形式，跟它现在的这个形式还有点差异。所以俩人都不知道。后来爱因斯坦和希尔伯特讨论变分，什么其他的东西，大概从哪方面得到启发，得到了基本的方程。

 

我再说一下1936年。1936年从基本的场方程推出运动方程来以后，还有一个很重要的s。我们知道爱因斯坦，他是继续了牛顿的思想。牛顿的思想是什么呢？就是质量有两种定义方式。一种是按照它的万有引力的大小来定义的，这叫引力质量。还有一种按照它的惯性效应，也就是牛顿力学第二定律F=ma这个式子来定义的质量，叫做惯性质量。

 

牛顿就认为，这两个质量没有理由说它一定相等。那么牛顿当时做了一些实验，在千份之一的精度范围内，没有发现差异。到了爱因斯坦那个时代，做到了10的-8次方的精度，仍然没有发现差异。但这不是爱因斯坦做的，是匈牙利的物理学家厄缶做的。

 

爱因斯坦那个时候就认识到，这两个质量它精密相等，爱因斯坦就认为，应该设想引力质量和惯性质量是相等的。或者说引力场和惯性场是等效的。就是说你没法用任何物理实验区分你受到的一个力是万有引力呢，还是惯性力。

 

这样他就提出一个等效原理，就是引力场和惯性场等效。或者说引力质量和惯性质量相等。但是他还是认为这是两个质量，觉得不太清楚。为什么这两个质量会相等不是很清楚？从爱因斯坦的场方程推出运动方程的时候，他只引入了一个质量，这个是作为引力质量引进的。

 

但是引力质量在推出它的运动方程，就是从场方程推出运动方程以后，这个引力质量出现在两个位置上：一个是万有引力，引力质量的位置上保持着；另外一个出现在惯性质量的位置上了。

 

也就是说在爱因斯坦的理论当中，引力质量和惯性质量应该是一个。如果引力质量和惯性质量不是一个，他这理论应该被修改。所以这个就是当时他和福克的工作的一个重要的意义。爱因斯坦当时得到他的场方程以后就预言了广义相对论的三个效应。

 

但他都是用近似解预言的，他当时没有得到严格解。但是就在第二年，德国的一个数学家史瓦西得到了严格解。就是一个球对称的质量外头，一个不随时间变化的球质量外头，时空应该是如何弯曲的。

 

史瓦西是个天文学家，也是一个数学家。他发现这个的时候，当时正是第一次世界大战期间，他被征兵到了前线。但是他当时对这个很感兴趣。这时候他生病了，得了不治之症。由于他是不治之症，就把他送到了后方的医院。

 

他在医院当中把这个解求出来了，求出来不久他就去世了。这个解就叫史瓦西解，是广义相对论当中，几乎是最重要的一个解。

 

所有学广义相对论的人，都应该首先把这个解理解了。一个球对称的质量的外部，时空是如何弯曲的？比如太阳周围的时空是如何弯曲的？就可以用史瓦西解来加以解释。