自然数网络

网络可控性的定义为系统在适当的输入下，可从任意的初始状态在有限的时间内驱动到所希望的目标状态。一个关键问题是：为使得网络可控，需要确定驱动节点数和驱动哪些节点

第三类是自然数网络。网络中的节点编号，通常采用自然数，连线则依赖于实际问题的背景。能否直接利用自然数之间的关系进行连线？答案是肯定的。

自然数之间存在着许多关系，它们构成了数论的研究内容。自然数中最简单的关系是整除，因此最早研究的是自然数整除网络。周涛等人实证研究了合数整除网络的三大指标，发现平均距离有限，群集系数很高，出度分布幂律。我们理论上证明了，随机复制模型能够再现自然数有向整除网络，得到精确度分布。因为幂律度指数是2，其平均度呈对数增长，倒数即素数定理猜想。外国人研究了自然数二分加权整除网络，并引入了素数网络，同样得到了幂律度分布。

自然数中整除关系的推广是同余。给定一个余数，将两个自然数相除，有此余数的两个整数连线，就生成了自然数同余网络。如果取余数为0，就得到了自然数整除网络。如果假定连线是从小到大，就可以得到自然数的有向同余网络。我们推导出了它与有向整除网络类似的精确度分布，幂律指数也是2。自然数有向同余网络与自然数有向整除网络的最大区别，就是前者拥有有向的长链。例如，余数如果是3，则4、7、10、13，这样一直下去，就构成了一条长链。长链的存在源于带余除法，除数是余数，而整除时余数为0，带余除法就消失掉了。

网络拥有有向长链对于网络可控性至关重要。网络控制首先研究的是线性动力学系统。它由两个矩阵刻画，矩阵A描述网络连接和相互作用的强度，矩阵B反映外部的控制。网络可控性的定义为系统在适当的输入下，可从任意的初始状态在有限的时间内驱动到所希望的目标状态。一个关键问题是：为使得网络可控，需要确定驱动节点数和驱动哪些节点。Barabási等人在《自然》杂志上首先给出了驱动节点数的公式，并对无标度网络得到了驱动节点比的解析表达式。这个表达式说，当幂律度指数为2的时候，要网络可控需驱动几乎所有的节点。这个结论可信吗？自然数有向整除网络确实如此。但我们发现自然数有向同余网络，尽管它是度指数为2的无标度网络，却只需要驱动有限个节点，这有限个节点的数目就等于余数。原因是它拥有有向长链！另外，文献上报道的无标度网络可控性对目标攻击脆弱，而随机失效稳健，在自然数有向同余网络上也不成立。这些结果说明对有向网络，链结构值得深入研究。我们的文章2016年发表在《自然》旗下的《科学报告》杂志上。

全齐性网络和链结构网络，这两类网络对社会组织也极具参考价值。同步是要求群体步调一致协调运作。因此最好的结构自然应该是个体之间尽量的整齐划一的齐性结构。可控是希望群体按照公司上级等主管部门的意图迈向指定的目标，因这个时候环环相扣的链式结构才能够保证上级的意图得以顺利地贯彻。所以这两类结构还值得深入研究。