《二态系统的量子力学》（5）

 

 

 

牛顿力学一旦变到量子力学，它非常神奇的事情是，要求把这两件不可能同时发生的，只取其一的东西加起来，并且这个加法是矢量叠加的加法。量子力学和经典的概率论也有区别区别。量子力学的加法和概率叠加的加法不一样，是矢量加法。那么在数学上为了表示这个区别，把前面这样一个概率的加法叫密度分布函数，后面这个矢量的加法叫密度矩阵。那形式上它有一套语言。这套语言用狄拉克符号来写

 

 

我们现在有这样三个实验你就看见了，这个世界塌缩了，挂了。我对经典世界的认识是基于，要么是像豆子一样的一颗一颗的东西，要么是像波一样的,可以劈成两半再劈成两半再合起来的这样的波的东西，它们的背后都是牛顿力学。

 

如果你是一个对这个世界感兴趣的人，你是一个想让这个世界对你来说make sense，还能对它想点什么的人，那你就不得不面对这种单粒子的干涉现象到底怎么理解的问题。我们说首先，波动力学的这套体系，是能够使得我们得到正确的答案的。也就是说，矢量分解这件事情，形式上算出来的答案是对的。这就保证什么呢？我们不管将来量子力学理论长什么样，总而言之，它算的时候得像矢量分解。数学上矢量分解给你的答案是正确的，那这点就没问题。

 

对于你现在的单个的光子来说，你也得用这样一个振动方向的矢量来描述。而且这个矢量描述要做某种分解和加法。什么样的分解和加法呢？比如说在光过玻璃的实验里头，假设它经过第一个缝被弹走的那个矢量是这么一个矢量，经过第二个缝被弹走的那个矢量是这么一个矢量。我们说了这两个矢量是不可能同时发生的。它只是两个每次只发生其中一个的关系，可是你还要把它们俩加起来。所以这个矢量分解是非常神奇的一种分解和叠加，但是总而言之，只要你允许做这个矢量分解和叠加，那么答案是正确的。

 

它和经典的波动力学的区别就在这。经典波动力学是说，有一束光波，它反正过任何界面都得分成这样两束的。于是这两束是同时发生的，将来合起来的时候，你是自然的就把它们合起来的。或者说你拿绳子上的波来解释就是，反正我这个绳子上的振动就要扯旁边那个东西振动的。于是我允许你从那些方向过，自然会影响那个过来的小小粒子的振动方向。

 

也就是说，原来你是有牛顿力学背景的，但是一旦变到量子力学里的时候，它非常神奇的事情是，要求把这两件不可能同时发生的，只取其一的东西加起来，并且这个加法是矢量叠加的加法。那好了，和经典波动力学的区别我们知道了，我们再来看和经典的概率论的区别。

 

那和经典的概率论的区别，用刚才我们说过的这个双缝干涉的实验来解释。假设这是经典概率论，这是在打一颗比如说子弹或者是植物大战僵尸那个游戏里头的豌豆射手。那么你就会发现，沿着上面这个缝，它的这个分布函数我们已经画过了。这是屏，那么它就会沿着上面这个缝形成一个可能的区域。比如说一个可能的方形的区域，在这个区域内它有这么大的可能落到，这个区域之外都落不到。

 

那么我们说了，它就会形成一个相互有叠加的这两个区域，中间这块它的可能性会更高，旁边就是这样，旁边就是这样，不会有暗条纹。那么这个叠加是怎么做的呢？这个叠加是说，如果有一个事情你会导致x的几率在这，有一个事情你会导致y的几率在这。那当这两个事情组合起来的时候，比如说一个Px，一个Py，那么最后你得到的几率就是它们两个几率的概率叠加。也就是说，你将来得到的在这个点上发生事件的几率是，Px乘上x加上Py乘上y的这么一个概率叠加。

 

所以当你妈妈给你十块钱，爸爸给你五块钱的时候，如果各自那天都有1/2的几率给你的时候，平均来说你的收益是七块五。它就这么来的，10×1/2+5×1/2。那当然如果是1/4和3/4，算出来的答案会不一样。但是计算的方法都是这样来求平均。用这个类比，我们发现量子力学竟然可能，你的五块钱和十块钱合起来它等于0。这怎么可能？

 

就是说，这个地方，如果既有从上面的缝过来的光子的可能，又有从下面的缝过来的光子的可能，把它们两个可能合起来的时候，它就可能没有光。这是怎么形成的？那当然数学上我们知道，是怎么形成的呢？因为你只要把两个矢量叠加，它们俩有某个夹角。只要这两个夹角是180度，它就能相互抵消，这是没问题的。可是这样一个加法和概率叠加的加法不一样，是矢量加法。那么在数学上为了表示这个区别，把前面这样一个概率的加法叫密度分布函数，后面这个矢量的加法叫密度矩阵。

 

原来的概率分布函数里头，两个东西加起来必定是按照几率的方法加起来的，但是现在是按照矢量的方法加起来的。“薛定谔的猫”大家可能都听说过，一旦你有一个活态加死态，如果它是经典的加法，你看见的事情是什么呢？你说一定的可能它是死的，一定的可能它是活的。如果说死的猫值5块钱，活的猫值500块钱，我问你值多少钱？你就5乘P死的加上500乘P活的，然后这个就是值多少钱。

 

但是，这样一个矢量加法加起来就会变成什么呢？是死的加上活的。你把死的加上活的这两个状态，直接加起来的时候，你想想你的经典世界里头有这么个东西吗？一个猫的状态等于死的加上活的，你能想得明白它有这么个东西吗？我想不明白，死的加上活的是什么态。我只能说要么死的，要么活的，把这个状态加起来，我很明白。这个状态就是以P1的几率取死的，以P2的几率取活的。你想问我算什么，我都能用这(两)个东西算。

 

那形式上它有一套语言。这套语言用狄拉克符号来写，就是P1加上一状态，P2加上二状态，这样的一个东西我是能明白的。可是一状态它自己加上二状态它自己，这件事情我是不能明白的。而且更加神奇的事情是，你会发现这个一状态加二状态，竟然告诉你的是“这只兔子”。

 

什么意思？用量子力学的一个实验来解释，这个实验我就不讲，但是我讲一下它的背后的理论。它告诉你说一个Z方向向上的自旋，加上一个Z方向向下的自旋。如果你把它们俩做概率叠加，这个没什么好玩的，反正它们俩就是两个独立的概率事件。但是如果你把它们俩做矢量叠加，一个向上的状态加上一个Z方向的向下的状态，它合起来是X方向向上的状态。

 

注意X方向就是那只兔子。也就是说一个死的猫，一个活的猫，它们俩如果不直接相加做概率叠加，我很好理解。但是如果它们俩做矢量叠加，我告诉你它的状态是这个，它成了一只兔子。这也是我这本书的封皮，我上面写的是：一个好苹果加一个烂苹果等于一个香蕉。而这样的事情在经典的世界里头是绝对不可能发生的。

 

那么同样地回到刚才和经典力学的对比。经典力学我们说了，它的状态就是X和P这对组合，以及X和P这个空间上的一个概率分布函数。它对应着的方程是哈密顿方程。那么现在在量子力学里头，它告诉你说，X和P就不一定能够当成我描述这个对象的方法了，甚至X和P上的那个分布函数都不一定是对的了。

 

也就是说，首先你分布函数肯定是不对的，你要把分布函数变成我刚才说的密度矩阵，变成我刚才说的，可以把这个矢量和那个矢量――死的和活的加起来的状态，而且死猫加活猫竟然是个兔子，这样一种加法的状态。第二，你那X和P底下用来构成这个空间的基本的变量，可能都出问题了。这个东西会出什么问题呢？