群

 

 

 

数学研究的客观世界里有很多具有相同规律的事物，我把这些东西合在一块就叫做“群”，即抽象群。它们可以成为一个集合。这个集合中定义的运算满足四条规律，分别是：封闭律，结合律，幺元律和逆元律。 “群”的本质其实就是对称。

 

 

下面就说到“群”了，“群”这个概念在大众看来，有的人知道，甚至于有的人还知道“群环域”，但是不太多。但是知道“群”的人还挺多，可是大多数人都认为“群”很深奥，因为他没有学过抽象代数，甚至于没学过离散数学，那他可能就会觉得群很深奥。但是他不了解对称其实就是“群”的本质，有一种对称就一定有一种“群”，“群”它来源于“对称”。像刚才我们说的，如果更加通俗一点，我就可以在平面上去考察一些平面图形，这样比较简单，我不到空间去考察，而且我只考察图形，考察平面图形。

 

那我们就发现这个圆是平面图形，这个圆的对称性很强，然后有的人可能会说正方形比正三角形更对称一些，而正三角形比等边三角形、等腰三角形，正三角是等边三角形，它比等腰三角形更对称一些，那等腰三角形呢，比那种一般的三角形更对称一些，可是要是问你，正六边形、正方形、等边三角形，这三个哪个“更对称一些”？哪个最差？你怎么回答呢？好像不太好回答。但是如果我们对这个平面图形的对称性，给它一个更加本质的表述，甚至于给它一个“量化”的表述，就可以回答了。

 

这是一个什么表述呢？我在这本书里也是这样写的，就是我们刚才说到“变中有不变”是“对称”的本质，那么对任何一个平面图形来讲，我在平面上做变换，这种变换都是等距变换，等距变换就是变换前和变换后这个平面，是这个平面做变换，这一个平面整体的变了、还是变到这个平面上，但是点都在变。比如刚才我说，现在我们就不看成是这个小书了，而是把它看成是这个，它就延伸成一个整个平面，一个无穷的平面，然后对这个直线做一个反射，这里边这个平面上除了这条直线上的点全都变了，但是任意两点间的距离都没变，这叫等距变换或者叫“保距变换”。

 

除了这种反射以外还可以有旋转，比如整个平面绕这一点旋转，旋转30°，这时候除了这一点以外所有点都动了，但是每两点间的距离都保持着，这一类的吧。还有平移，比如这个平面往这边移了，这时候平面上所有点都动，没有任何一点不动，但是平面上任意两点间的距离都没动，也叫保距变换。

 

刚才我说为了描述这个平面图形上平面图形的对称性，我就对这个平面做这样三种变换，分别叫反射、旋转、平移，还有它们的“相继实施”，先实施一个平移，再实施一个旋转等等。这些保距变换它是对平面在实施的，但是这个图形在平面里就跟着变了，平面在变这个图形，平面上的图形也跟着变了，但是其中的有些保距变换却会使图形整体不变，比如刚才说的这圆。

 

我拿这个眼镜片，当然这个眼镜片它不是圆了，假设是圆。当这条直线是做反射的那个对称轴，当这个对称轴，正好是这个圆的直径的时候，虽然平面上的点在变了，这个圆却整体没变。当这个旋转的中心正好是圆心的时候，那你旋转这个θ角无论是个什么角，有无穷多种角，这个圆整体都没变，圆上的所有点都变了，但是圆整体没变，但是平移不行了，平移移这个圆就变了。

 

也就是说有一部分保距变换会使你所考察这个图形整体不变，极端一点说对于任何一个图形，我都会有一种保距变换使它整体不变，但这种保距变换就是恒等变换，恒等变换我们也把它当作一个变换。这个恒等变换是使平面上任何一点都变到它自己。这种看法是非常有价值的，这就好像把零也看成一个数一样，零它加谁都不变，但是把它看成一个数，现在我这个不动，也就是说，也叫恒等变换，它也算是一种变换。

 

所以任何一个图形在恒等变换下它是不变的，因此任何一个图形使它不变的这种保距变换不会是空集，不会是空的，至少它有一个恒等变换在里面，就是它作为一个集合至少有。它这个集合使它整体不变的保距变换这个集合里的元素越多，我就认为它的对称性越强，我就把这个集合中元素的个数，作为描述这个图形对称性的一个量化的指标。

 

这样的话就感觉上，我对“对称”了解得更清楚了，至少在上述平面图形基础上，因为我现在看的圆，这个是圆使圆整体不变的保距变换，有多少个呢，我们刚才看了平移是不行的，但是反射只要这个对称轴是它的直径，它都使圆整体不变，而这样的直径有无穷多条，所以这个集合中的元素有无穷多个。还有旋转，旋转θ角，这个θ角是任何一个实数都可以一个角，它又有无穷多个，所以合在一块使圆整体不变的保距变换很多，无穷多个，因此我们才发现圆的对称性很强。

 

我们通常说圆是平面图形中，对称性最强的，这和我们感性认识是一致的，它对称性最强，而我们也看到它这个保距变换里面的集合中的元素是最多的。于是我们再来看正六边形、正方形和正三角形，还有刚才我们讲的等腰三角形和一般三角形，它的保距变换。

 

先看一般三角形，一般三角形因为它是一般的，所以除了恒等变换以外别的都不能保证它整体不变，所以它这个里边的使它整体不变的保距变换只有一个就是恒等变换，它少。没有没有的，都有，至少有这恒等变换，所以它的对称性最差，一般三角形。等腰三角形呢，等腰三角形有两个，一个是不变，就是恒等变换，还有一个就是平面对等腰三角形底边上的高做反射，左边一点变到右边右边一点变到左边，但是这个等腰三角形整体不变，所以等腰三角形上的使它整体不变的保距变换这个集合里边有两个元素，那就比刚才那个多了，它的对称性比一般三角形强。

 

你再看正三角形，等边三角形，它有多少个使它整体不变的，平移是不行的刚才我们看了，因为一个有限的图形平移都会使它改变。但是我们先看反射，它任何一条边上的高作为对称轴做反射的时候，这个等边三角形整体都不变，有三个这样的高，然后旋转——这三个了，这个集合里面有三个元素，使它整体不变的保距变换——然后旋转呢，整个平面绕等边三角形中心旋转120°，这个点旋到这来，这个点旋到这个点上不变，旋转240°它也不变，旋转360°它也不变，又有三个。所以使正三角形整体不变的里边的元素有六个。

 

再看正方形，使正方形整体不变的，我们稍微快点，反射的话有对角线，按对角线做反射，这样的一个正方形，这两个了。然后两条对边中点的连线又两个，四个反射，旋转呢，旋转90°，旋转180°，旋转270°，0°或者360°，四个旋转四个反射，所以它有八个。所以现在我们看到正方形这个集合中的保距变换，使它整体不变，这个集合中的保距变换有八个，而那个正三角形是六个，所以看到正方形比正正三角形更有对称性。

 

再看到正六边形，正六边形使它整体不变的反射是有对边的对角线，相对的对角线，三个，对边中点的连线又有三个，这是六个，然后旋转是60°、120°、180°、240°，六个旋转，六个反射，六个旋转，十二个，所以它比正方形又更有对称性，正方形刚才八个嘛。

 

你看这样一下“量化”以后，刚才我们觉得不太好回答的问题，就好回答了。刚才我们说到底正方形、正三角形、正六边形谁更对称一些？现在我们可以回答了，而且我们也看出来了，圆是最对称的，就是对称性最强的。它的道理本质就在于，使它整体不变的这种保距变换最多，无穷多个。这就是“对称”这个本质在平面图形上的一个表现，然后我们又说到“对称即群”，刚才我们看到的这是叫平面图形的对称变换的集合。

 

刚才我们讲到这么多对称变换，有反射有旋转有平移，以及它们的“相继实施”，而这些集合放在一块无穷多个，有什么特点呢，这些平面图形的对称变换的集合，有无穷多个搁在一块有什么特点呢，有四个特点。

 

第一叫做封闭性，就是这些保距变换相继实施，实施完一个再实施另外一个，实施的结果仍然在这个里边，不会跑出去，还在这个里边，因为它实施完了以后还是这三个以及它们的相继实施中的一个。这是第一个特点叫做封闭性，不管你怎么弄，它都会在里边跑不出去。所谓封闭性，比如整数对加法是有封闭性，整数加来加去还是整数，它的逆运算减，整数减整数还是整数，所以加法对整数封闭。但是除法就不封闭，你整数除整数，像六除以三等于二它是整数，但是不能叫它除法封闭，因为有的除法它不封闭，六除以二是等于三，六除以三等于二，这都封闭。但是你要六除以五呢？五分之六，五分之六就不再是整数了，所以它对除法不封闭。这样就理解什么叫封闭性了，我现在这个“群”里边这些做这个，做来做去它跑不出去的，都是封闭在里边，还是这个东西。

 

第二个叫做结合律，结合律就是我们平常小学都经常学的三个数要相加的话，你把前两个数相加再跟第三个数相加，还是先把后两个数相加，再跟第一个数相加，效果是一样的，所以叫结合律。现在我们不是数了，现在甚至于很抽象，我刚才讲的是平面图形的变换，你先做哪个变换，后做哪个变换，这不也有一个相继实施嘛。

 

三个变换分别叫φ1、φ2、φ3，你是先把φ1跟φ2两个相继实施，再跟φ3去相继实施，还是先把φ2跟φ3相继实施，再把φ1去相继实施，这是两种不同的但是效果是一样的，这就是它也有具有结合律。但是这里不能换，你φ2跟φ3相继，你不能φ2在前面了，φ2跟φ1 这里没有交换律，这里有结合律。

 

第三个就是有幺元律。什么叫幺元律呢，幺就是我们汉语里边一，一乘任何数都保持那个数不变，这个幺元律就是存在一个元素，这个元素跟别的变换相继实施的时候都保持这个变换不变。在我们这里平面图形的保距变换的集合里恒等变换就是个幺元。你无论是先实施恒等变换，再实施另外一个变换，它也保持另外一个变换，或者是先实施另外一个变换，再实施恒等变换，它也保持那个变换不变，叫恒等变换，它是幺元律。

 

第四个规律叫做逆元律。逆元律就是每一个元素都存在另外一个元素使得它们两个相继实施的结果正好是第三条里的幺元，我们这个幺元就是恒等变换。举例说反射，刚才我们做的说平面图形反射，这个反射的幺元是什么呢，反射的幺元就是自己，你往里面反射了，但是我再次反射这边就变回来了。因为这边变过去这边变回来是一样的，当你这边变过去的时候你这边就变回来，你再一次反射的时候，又把这边变过去这边变回来，反射的幺元就是自己。

 

旋转呢，比如按逆时针方向旋转了30°，整个平面在旋转，这个整个平面在旋转，逆时针方向旋转30°它的逆元是什么？它的逆元就是按逆时针方向旋转330°。因为你旋转30° 再旋转330°，合在一块是旋转了360°，旋转了360°就跟没转一样，所以它就是恒等变换。这个变换跟另外一个变换相继实施以后，效果跟恒等变换一样，那么那个变换就叫做它的逆元。现在第四条规律就是刚才我们说的这些里边每个元素都存在逆元，无论是反射、平移还是旋转，平移你往这边平移了十厘米，那么它的逆元就是往回平移十厘米，方向反过来了但是平移的距离是一样的，就是这个了。

 

于是我们总结一下，刚才我们得到了一个集合，这个集合是什么呢？是使平面图形整体不变的保距变换的集合。现在我们再看到这种集合里边，有四个特点，第一是封闭，我们把它叫规律的话，叫封闭律，第二是结合律，第三是幺元律，第四是逆元律。于是我们在使平面图形整体不变的这种保距变换里边发现了这样一个规律，接着我们会发现在客观世界里边，有这四个特性的东西、事物、事物的结构是非常之多的。

 

数学研究客观世界，我们就是愿意把有相同规律的东西放在一块统一去研究，那我们这个定理出来以后就适用一大片。于是我们就抽象出来把刚才这个平面图形上的东西叫做平面图形的对称变换群，这个“群”字就出来了，这个概念叫。但是我前面有个定语，或者叫平面图形的对称变换群，刚才我们说对称变换出来了，反射、旋转、平移以及它们的相继实施，这里边出来一个东西。

 

但是客观世界里边这样的东西很多，满足这四条的东西很多，再重复一下，客观世界里什么东西很多呢？有个集合，这个集合里边有一些元素，而这些元素会有运算，所谓运算就是这个元素里边的两个元素会决定另外一个元素，我就把它叫运算。我们像整数三加五等于八，三也是个整数，五也是个整数，八也是个整数，三和五就决定个八，二和三决定个五，二和四决定个六，这个叫做运算。

 

一个集合，这个集合里边有许多的元素，元素又定义了一种运算，然后这个运算满足四条规律。这四条规律分别是封闭律，结合律，幺元律和逆元律，客观世界有这么多这些东西，我把这些东西合在一块就叫做“群”，这叫抽象群。