《量纲分析》（1）

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碰到一个问题可能会涉及到很多的物理量，这些物理量要进行一些分类，分类的属性叫“量纲”。顾名思义，“量纲分析”就是分析量纲。是要针对所面临的问题，考虑会涉及到哪些物理量，然后通过量纲分析提成一个完整的问题并解决问题，找到答案

《Dimensional Analysis》，中文的名字叫《量纲分析》。今天我有五个部分要分享。第一，写作这本书的缘由。2002年，我回顾了自己一辈子的科学研究工作，发现自始至终得益于量纲分析这样一个须臾离不开的工具、方法。

所以，虽然现在人退休了，但还是想这样一个法宝应该要让更多的年轻人来学习、来应用、来传承下去。所以就决定，在力学研究所为博士生开了这门课。从此以后，我就年复一年讲这门课，讲了16年了，学生都爱听，认为收获很大。

在授课期间，有两位老前辈，一位是李佩先生，另一位是郑哲敏先生，他们催促我把课程的内容写成书。我觉得这个主意好，写成书可以有更多的年轻人来学习、来自学、来运用、来分享喜悦，所以，我在课余就来写书。

当我动笔的时候写不下去了，首先遇到一个问题，怎么对“量纲”这个概念下一个定义呢？所以我就把力学研究所图书馆有关量纲分析的书，十几本，找回来一本一本看。但是很失望，没有一个确切的定义，有的把“单位”跟“量纲”混淆了，单位是一个物理量，它不是物理量的性质。那么我就自己做了个定义：“量纲”就是量的属性。

2005年，我写了第一本中文的书《量纲分析》。郑哲敏先生欣然同意为我这本书作序。考虑到中国科技大学认真地请我去讲了两年课，所以我为了表示感谢，把这本中文书贡献给中国科技大学出版社出版。

经过多年的教学，又增加了一些思想体会，增加了一些内容，那么我就在这个基础上又写了英文的这本书《Dimensional Analysis》。我送到世界上最有名的出版科技书的出版社Springer。他们一看这本书就决定要，很快这本书就2011年出版了。但是他们加了一个副标题，在《Dimensional Analysis》后面加了 “With Case Studies in Mechanics”，我觉得这也确切，因为的确我这本书是使用案例分析的方式来讲述的。

第二部分，我要说说什么是“量纲分析”。“量纲”是什么呢？是一个物理量的属性，是用来分类的，你碰到一个问题可能涉及到很多的物理量，那么这些物理量要进行一些分类，是分类的属性叫“量纲”。

首先，我们回顾一下“量纲”这个词，它的来源和它的演变，“Dimension”这个字，实际上最早的意思是“维度”。我们认识到我们生活在三维空间中，每一个人、每一个物体都有长宽高，所以在几何学上就引进了三度空间，three-dimensional space。

我们的祖先对星空的观察积累了很多年的经验，原来每个星体，它有运动的距离，经历了多少时间？因此，首先产生了长度跟时间两个概念。每样物体它无非是在长度、时间这样两维的空间里边有一条轨迹，因此，开始把“Dimension” 这个字，从三维空间的长度演化到物理里边的维度。

首先是运动学里面的两度空间，长度跟时间里边有一条曲线，代表了物体的运动轨迹。到了牛顿时代就探求为什么一个物体有加速度。这个时候，牛顿就把加速度的原因归结到外力这样一个概念上去。

其实最早，所谓的牛顿第二定律，不是我们现在这样的形式。当时牛顿对运动的强度是用动量来表示的，所谓的动量就是质量乘上速度。它首先的形式，动量随时间的变化率用数学的形式就是，什么原因不等于零？这是因为受到了外力。

这样的动量变化率是正比于外力的，它原来的形式是正比式，假定外力F=0，那么动量不随时间变，对于质量不发生变化的物体，m 是个常数，所以也可以说是，正比于F。

但是到了后来，1822年傅里叶在他有名的书里面就提出来，一个反应物理事实的方程式，中间的每一项它的量纲必须相等，每一项的属性必须相等。这么一来就可以把牛顿的这个式子正比号改成等号，就是。当时牛顿并没有对外力的属性说清楚，现在把外力的性质非常明确了。

对一个质量不变的物体而言，就是让质量m的物体具有dv/dt的加速度，所以外力就是质量乘加速度的乘积。从此物理学从运动学进步到了动力学。这个时候动力学的问题，就是三个维度的空间中的一条轨迹。这三个维度，就是长度、时间，质量或者力。因为力就是质量乘上加速度。

后来物理学认识又提高了，外力里边再加进电磁力，因此又增加了一类物理量，就是电量。所以如果一个问题最复杂包含了所有的物理效应，那么这个物体一定是在四维空间里面一条轨迹，也就是长度、时间、质量或者力，还有一个电量。

说完了“量纲”，就要说说什么是“量纲分析”了。顾名思义，“量纲分析”就是分析量纲，是要针对所面临的问题，考虑会涉及哪些物理量，然后通过量纲分析把你所面临的问题提成一个完整的问题，然后还是用量纲分析的办法去解决这个问题，找到这个答案。

我们人生活在自然界中间，是自然人；我们生活在社会中间，是社会人。我们每天都要面临自然界的问题，社会的问题。那么这些问题可以分为两大类，一类最简单的问题就是比较大小、比较强弱，也可以叫比较分析；那么更复杂的问题，就是你要寻求为什么造成这样的结果。那么这个结果我们可以叫做y，然后要去求为什么得到这个y，要找到很多很多原因x，这些原因可以不止一个，可以是、、等等。

最后我们要回答，为什么造成这样结果的原因，就是所谓的因果分析，寻找就是因果分析的结果。所以我们所面临的问题无非两类，一类是比较分析，一类是因果分析。这两类问题都要通过量纲分析的方法来提出问题，寻找答案。

首先，你要明确你所面临的问题是什么性质的问题？是自然现象的问题，还是社会现象的问题；是认识问题，还是管理问题；是物理问题，还是数学问题；是科学问题，还是技术问题。这个性质本身就是“纲”，当然，一般问题都比较复杂，它不需要你回答，因此要找出所有的原因来不大可能。那么只能把所有原因把它排个队，来看看哪些原因是主要的，哪些原因是次要的。

这里边首先要做比较分析，排了次序以后，把可以忽略的原因全部忽略，剩下主要的原因，然后通过实验、实践，通过理论分析，通过计算机模拟，沙盘推演等等方法来找到答案，给出因果关系。

那么这样把一个复杂的问题简化成一个简单问题，这个简单问题我们叫它“模型”，用英文叫Model，而这个模型保留了实际问题，英文叫prototype ，保留了实际问题的本质。通过量纲分析，通过比较分析，把它简化成一个模型问题，而这个模型可以做小模型实验，然后从小模型实验上得到结果就可以推广到实际问题上面去，而不失其本质。所以量纲分析实际上是提出问题、分析问题、解决问题，不是只是涉及几个物理量的量纲的讨论。

钱学森先生曾经说过这样一段话：“从力学的发展历史来看，从为工程技术服务而发展起来的，行之有效的力学方法来看，也可以用来，为发展自然科学服务的，比如说，无量纲方法、相似律方法。”那么这个就是我所要介绍的量纲分析的为用。

当年有个美国科学家H. Liepmann ，他对钱学森先生说：“引力常数、质量、光速，这三个物理量形不成一个无量纲量，缺一个长度，这个长度是什么？”钱学森先生脱口而出：“这就是黑洞的半径。”他说：“你怎么知道？”钱学森先生回答：“我经常思考这些问题。”这个事例说明，这个方法在搞自然科学方面也是同样有用的。1982年北京大学出版的《力学与生产建设》这本书上有钱学森的原话。看来为了避免“量纲分析”这四个字产生误解，还是叫“无量纲分析”或者叫“相似分析”更为贴切。