《二态系统的量子力学》（6）

在经典的世界当中，你绝对不可能会看见事物本身的加法，你看的永远是事物的量的加法，一个苹果加上两个苹果等于三个苹果。而在量子世界里，一个苹果加两个苹果可能等于一个大苹果，甚至一个香蕉

历史告诉你说，X和P这对变量值是只要你测准了X――X的误差很小很小，你就会导致P的误差很大很大，这个叫测不准关系。那么有了这个之后，大家就猜，它不可能是同时用来描述这个体系的变量。这个逻辑上也是很有道理的，但是这是历史上的情况。而实际上，一旦量子力学的理论建立起来以后，我们发现什么事情呢？就是我刚才说的那套矢量叠加，它背后其实对应着一套数学。

这套数学是希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）空间的矢量。量子力学基本的描述的数学形式是，矢量以及这个矢量构成的算符。那么从这个角度来看，你就会发现X和P它是什么形式的东西呢？它是两个相互不对易的算符。什么叫不对易呢？就是X乘上P它不等于P乘上X的算符。那么一旦两个算符是对易的，你很容易就证明，你可以找得到一种表示方法，这种表示方法里头X和P都是测得准的。可是一旦X和P是不对易的情况，可以证明永远也找不到一组，在这组表示下X和P都是准确的量。

于是你就发现，我们实际上是把经典力学的这样一套描述方法变成了什么呢？在那里头，X只不过是一个数值，P也是一个数值。但是现在在量子的体系里头，它们成了算符。一旦有了算符之后，你就只能用这套算符，带来的某种内禀表示的情况下，来描述其他的算符。这套内禀表示有个专有名词，叫做本征值和本征向量，具体的细节我们可以不管。

也就是说，如果这两个算符不对易，你只能取其中的一组来当成你的基本的描述量，其他的东西都得用这样一组算符的本征向量来展开。那么这个时候你就发现，它实际上做的最最主要变化就是，把原来这种纯数的位置坐标变成了算符。有了这个算符又有了本征向量之后，它构成了整个线性空间，自然就可以做事件的加法。这是一件非常深刻的事情。

举个例子，比如说你的小孩在算苹果的加法。他说爸爸给了你两个苹果，妈妈给了你三个苹果，问你拿到几个苹果？小孩很聪明，告诉你五个。你仔细想想他在算什么东西的加法？他在算苹果的加法吗？他不是在算苹果的加法，他算的是苹果数量的加法。如果他真的是在算苹果的加法，他应该怎么办？他应该是把三个苹果揉一块变成个大苹果，把两个苹果揉一块变成个大苹果，再把这三个苹果和两个苹果合起来的那个大苹果再揉一块变成一个新苹果。这叫苹果的加法。

所谓苹果的加法就是，你算符作用的对象得是苹果，你算符作用出来的结果得是另外一个苹果，这叫苹果的加法。也就是说，你对应着的集合是苹果，所以你是把这俩苹果合起来，把它变成了一个新苹果，这叫苹果的加法。可是在经典的世界当中你见过苹果的加法吗？

日常语言当中的苹果的加法绝对不是苹果的加法，而是苹果数量的加法。也正是因为它们是数量的加法，所以小孩只要学会了苹果的加法，或者说只要学会了手指头的加法，它就会算铅笔的加法、橡皮的加法、钱的加法、苹果的加法，因为那个时候它们其实都是在算这些东西数量的加法。

在经典的世界当中，你绝对不可能会看见事物本身的加法，你看的永远是事物的量的加法。但是我们已经看见了，在量子的世界里头，你可以把一只死的猫和一只活的猫加起来成为一只兔子。或者一个从上面弹走的光子，一个从下面弹走的光子，尽管它们都不可能同时发生，把这样两个光子加起来，它竟然还能成为一个新的光子。这是一件不可思议的事情。量子的世界是建立在事物本身的加法基础上的。而如果你是在经典的概率以及经典的波当中，你都不是事物本身的加法。

比如说经典的概率，你妈妈给你两块钱，你爸爸给你三块钱，你不可能把这两块钱和三块钱合起来变成一张五块钱。绝对不可能，你只能说我合起来的数量是个五块钱。或者说你爸爸以1/2的几率给你四块钱，你妈妈以1/2的几率给你六块钱，尽管合起来它们还是五块钱，但是你信不信你拿到那张钱绝对不是一张五块钱。所以量子的世界是和你日常生活的世界完全不一样的。而为什么会有这个完全不一样的世界，就是因为它整套实验观测的结果要求它后面必须有事件真正的加法。