《量纲分析》（2）

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量纲分析所依据的原理比较简单，只有一个π定理，但是要能够运用π定理来解决疑难问题也并不容易。谈庆明老师通过单摆的摆动周期，第一颗原子弹爆炸的威力，TNT当量的估计，流体弹塑性体模型的创建，总理治国，银行储蓄等的案例分析，说明了无量纲分析方法在力学领域、工作、社会生活中的多方面应用

我这本书采用的是案例分析的阐述方式，所以第三部分我举几个案例。量纲分析所依据的原理比较简单，只有一个定理叫π定理，但是要能够运用π定理来解决疑难问题也并不容易。本书试图通过一系列的案例，包括常用案例、经典案例、前沿的案例这样三类，让读者明白方法的实质，体会量纲分析方法是通用的、有力的，然后帮助读者自己用量纲分析来解决实际问题，分享喜悦。下面我就举一些常用的案例、经典案例和前沿的案例，来说明无量纲分析方法的用途。

第一类常用案例，首先举一个单摆的周期作为例子。一般认为，单摆的周期好像跟几个量有关，首先是摆长，摆的长度叫l，摆锤的质量叫m，手一放，它就摆起来了，为什么呢？摆锤质量受到地球引力它有个重力加速度g，然后这个周期还跟摆角有关，叫α。

要问它的周期y是什么，我们现在这儿的叫P，英文是Period ，它是一个函数，也就刚才四个量，l摆绳的长度，m摆锤的质量，重力加速度g，还有摆角α，所以写成P=f(l，m，g，α)四个自变量。如果要求得周期的话，四个自变量都要变化的，如果每个自变量变十次，那么一共要做104的实验，也就要做10000次实验。但是运用了量纲分析，马上就得到一个无量纲的关系，那么左边呢，就是Period（周期）除以根号，根号里边有个分数，是摆长l除以，左边是无量纲量，右边是等于，只有一个自变量α。

本来四个自变量，现在只有一个自变量，只要做10次试验，而且马上还知道一些非常重要结论。周期跟摆长的开方成正比，周期跟重力加速度的开方成反比，周期跟摆锤的质量无关。这很惊讶的，只不过做了一个量纲分析。上述分析好像很巧妙，得到的结论也很精要，但是这样的单摆，有吗？实际上是没有的，它是做了一系列的假设，而这些假设所得到的最后结果，并不是个实际的摆，它是个模型，而这个模型又反映了实际的钟摆摆动周期的本质。那么这些假设是什么呢？

首先认为摆长有个l来代表，意思就是摆长伸长缩短这个量叫Δl，可以忽略，那么这样就有一个无量纲量，就是Δl除以l（Δl/l）是小于小于1，因此不用考虑Δl，就是摆长的一个长度l。比如说，摆在空气里面运动，有空气阻力的，这里边忽略了空气阻力，但是假设空气阻力跟摆锤的重力mg相比，又得到一个无量纲量，空气阻力除以mg小于小于1。在这种条件下可以把空气阻力忽略，那么这些都是做了比较分析的基础上的一系列假设。所以一个复杂问题要做很多比较分析，才得到一个简化的模型，而这简化模型又反映事物的本质。

第二类我要讲一个经典的案例。这经典案例是第一颗原子弹爆炸的威力，TNT当量的估计。1941年，英国的科学家G. I. Taylor知道美国正在研究一个威力无比的原子弹，他就决定运用无量纲分析的方法来对原子弹爆炸波的威力做一个估算。

他做了两个重要的假设。第一个重要假设，爆炸波的威力很大，能够摧毁一个城市，所以当爆炸波的波阵面传到很远的距离，这个远远的距离叫R，它一定要比原子弹的尺寸l大得多，大R比l大于大于1，或者这个尺寸l除以距离R小于小于1。因此他认为，爆炸波的强度反映原子弹威力的只有一个参数，也就是爆炸之后释放的能量 E。

第二，他假设这个爆炸波的强度很高，而爆炸波的前面是空气，空气是一个大气压，他觉得摧毁原子弹的爆炸波强度的压力，远远比空气的压力要高得多。因此，空气大气压可以忽略。他做了这么两个基本假设，得到了一个因果关系式。距离大R随时间t发展，它一定是f(t)，原子弹的参数就是E能量，空气的参数是，空气的密度，空气的特性，它的膨胀指数，因此大R有四个自变量，t、E、、。然后他运用了无量纲分析的方法，把这个有量纲的关系式化成一个无量纲关系式，左边是原子弹能量除以E/的1/5次方，还有t的2/5次方，右边是，只有一个变量。

这个结果，他就知道了原子弹爆炸以后的冲击波，随时间变化它的距离是跟时间的2/5次方成正比，这个式子里，有一个常数用能量守恒的原理估出来是1.033，那么剩下这个式子里面，唯一的一个不知道的，就是这个原子弹的能量E多大。这个工作，他在1941年就结束了，可是这个E多大一直不知道。

等到1945二次大战结束，再过了五年以后， 1950年美国政府认为有些保密的资料可以解密了，就把当年一个叫Mack的人，他在第一颗原子弹在新墨西哥州爆炸的时候拍了个电影。 G. I. Taylor拿到这个电影，然后把冲击波怎么扩展的，在纸上画下来，这条曲线证明距离随时间的变化的确是2/5次方，而且他把这条曲线跟他刚才得到的无量纲关系的结果一比，把能量E就定下来了，E折算成TNT爆炸的当量，17000吨TNT。他把这个结果公布了。这么一公布把美国的情报部门吓了一跳，怀疑这里面是不是有内奸，是不是有间谍，实际上这是科学家量纲分析的结果。

第三点我要给一个前沿的案例。郑哲敏先生领导我们几十年来做爆炸力学的工作，我们研究了空气中的爆炸，水里面爆炸，金属、岩石、土壤里的爆炸，一系列的工作，这都是最前沿的，包括爆炸加工，爆破，煤与瓦斯突出，反坦克武器效应，空间反导等等，做了机理性的研究和工程的应用。

其中特别要提到的是郑哲敏先生和解伯民两位，在1965年创建了一个新的物体模型，叫流体弹塑性体模型。当年为了预报中国地下核试验的强度是不是爆炸成功，如果成功的话，这次爆炸有多少威力，有多少TNT当量，他们查阅了美国的文献。当时美国人把岩石当成流体跟固体，它分成两个区域来处理。

因为核弹爆炸是几千万个大气压，那么岩石强度可以忽略，所以在核弹附近的岩石当流体，远处它是地震波，岩石是固体，他们两位认为美国人这种做法不自然，分界线在哪里呢？什么叫近，什么叫远，近区是流体，远区是固体，分界在哪里？觉得这个模型有问题，所以他们两位就提出来，岩石应该既具有流体性质，也同时具有固体性质，就提出了一个流体弹塑性体模型。

这个模型在力学上是个新的发展，以前是流体力学、固体力学，现在既非流又非固，既是流又是固，从近区到远区是连续的，他们提出了一个无量纲量，这个无量纲量，就是爆炸的初始压力，除以岩石的强度——屈服强度，即。那么在岩石里边近区的，靠爆源比较近的地方，很大，因为初压应该说很大，是几千万大气压开始的嘛，然后演变慢慢小，所以一开始，这个数目很大。这个所谓的近区就是流体，连续演变到远处，逐步小，小到压力跟屈服强度同样数量级，这个时候的确是固体，那么这样的变化是连续的。这样的无量纲量，是很说明问题的。这就是一个前沿的案例。

郑哲敏先生介绍我这本书给我写序言的时候说，本书的特点是列举而且详细介绍量纲分析在力学领域里面多方面的应用。从形式上看量纲分析原理和方法，似乎很简单，其实不然，因为量纲分析实际上是一种观察和思考问题的观点，需要了解充分的实例并且经过自己本人的实践，才能真正的掌握它。

在讲授量纲分析的时候，作者采用的以自变量来表述因变量的途径，突出了物理现象的因果关系，这是很有特色的。许多介绍量纲分析的书，往往不区分自变量和因变量，而直接使用量纲分析，这样做原则上并不错，但是由于物理图像不清楚，给出了一堆的无量纲参数，往往使人不得要领。而量纲分析方法的创造性运用，源于对事物本质的深刻理解。那么这段话可以参考郑哲敏先生为我中文书《量纲分析》写的序言。后来在英文书里也有类似的提法。

今天介绍第四部分，社会问题同样需要量纲分析。本书主要介绍运用量纲分析来解决物理和工程技术的问题，至于社会问题和经济问题，也有维度、量纲的概念，也需要用量纲分析来提出问题和解决问题。下面我举三个例子。

第一个例子，一个国家总理怎么持家，怎么治国？要勤俭持家，要勤俭治国，都要量入为出嘛。所涉及到的物理量，无非是钱。首先要清楚，月收入、年收入多少，然后要把每一个月、每一年要支出的项目排个队，哪个排在前面，哪个排在后面，就得到了一系列的百分比，把百分比大的放在前面，把百分比小的放在后面，可有可无的暂时不考虑，但是必须保证的要确保。最后这样就得到了一个简化的结果，这个事就施行了。这种总理就是好的总理，否则的话，国家要欠债，要发钞票，要贬值。

第二个案例，我们每个人都储蓄，我们每个人跟银行都有关系，我要存款存到银行里面去，我取款从银行里取出来。这个时候，跟刚才那问题就不一样了。刚才只有一个量纲，就是钱。现在增加一个量纲，时间。存款取款里面有利率问题，有简单利率，有复利，这样的业务，银行跟我的关系就涉及到两个量纲，钱跟时间。当然，银行拿到这个钱去，它还要去投资等等，它希望它要增值，它要赚钱，它要扩大它的业务，那么无非还是钱、时间。

第三个案例，孩子两三个月躺在床上，进来陌生人他就哭了，一会儿哭声被外面的母亲听到三脚两步就进来了，把门一推开宝宝看到妈妈马上就不哭了，笑了，为什么会有一个这么大的变化呢？孩子的脑子里面，他知道妈妈的模样，他不去记住这个妈妈是多高，量她的尺寸，量她的高、量她的宽，量她眼睛有多大、鼻子有多高。这些数目他都记在脑子里，但是记的不是绝对尺寸，记的是相对尺寸。他随便拿一个尺寸，宽度，去量她的高度，去量她的眼睛，去量她的鼻子高度，这么一对，很多的无量纲数、比例数，他记在脑子里。你给它看一张相片，他认得远的妈妈、近的妈妈，他记得了那么多数，但是不是记绝对的数，记的是相对的数，这就是相似嘛。他区别他妈妈这一套，跟陌生人这一套不一样，是两类。所以是一类问题最后要用无量纲量，而且好多无量纲来表达。

最后第五部分，一句话介绍一篇值得推荐给诸位的书评。这是鲁晓兵先生在2012年发表在《力学进展》第42卷的一篇评我这本书的文章，标题就是《Dimensional Analysis》，谢谢大家。